Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

358 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
weisen war.- Die Untersuchung der autopolaren Kurven ist somit
auf ein Problem zurückgeführt, das die Enveloppe einer Reihe von
oo1 Kegelschnitten betrifft.
Die Frage, ob es Kurven giebt, die in Bezug auf eine endliche
Zahl von Kegelschnitten autopolar sind, ist unseres Wissens noch
nicht behandelt worden. Fouret dagegen hat gezeigtl), dafs es
Kurven giebt, die ihre eigenen Polaren in Bezug auf ool Kegelschnitte
sind; solche spezielle Kurven sind die interscendenten Parabeln, denen
wir in Nr. 157 begegnen, und die wir ex professo im folgenden Abschnitte untersuchen werden.
157. In der Geschichte der geometrischen Transformationen
folgt auf die Theorie der projektiven Transformationen (kollineare
oder reziproke) der Zeitfolge nach das Studium der Transformation
durch reziproke Radien oder der Inversion; demnach folgt auf die in
sich selbst durch Kollineation oder Reziprozität transformierten Kurven
(mit denen wir uns im Vorigen beschäftigt haben) naturgemäfs die
Betrachtung der Kurven, die durch eine Inversion in sich selbst transformiert werden. Es sind dies diejenigen Kurven, die - nach der
von Moutard vorgeschlagenen Benennung2)- anallagmatische
Kurven genannt werden, eine Bezeichnung, die (von a privans und;;Oiarcji ich ändere, hergeleitet) ein wenig unbestimmt ist.
Es sei 7 eine Inversion, die durch den Kreis St mit dem Centrum 0 und dem reellen oder rein imaginären Radius r, bestimmt ist3).
Es giebt dann oo2 Kreise K rechtwinklig zu S2; jeder ist bekanntlich
anallagmatisch. Durch einen beliebigen Punkt M der Ebene gehen
ool Kreise K; alle diese gehen dann auch durch den Punkt J7(M1),
der durch die Transformation 9 aus M entsteht4); durch zwei beliebige Punkte der Ebene (in endlicher oder unendlich kleiner Entfernung) geht dagegen nur ein einziger und bestimmter Kreis K.
Ist nun r eine reelle Kurve, anallagmatisch in Bezug auf die
Inversion cY, P einer ihrer Punkte und t die bezügliche Tangente, so
giebt es einen Kreis K, der die Gerade t im Punkte P berührt. Da
1) S. die Note Sur les courbes planes ou surfaces qui sont leurs propres polaires reciproques par rapport ä une infinite des coniques ou surfaces du second
ordre (Bull. de la Soc. Philom., Paris 1878).
2) Sur la transformation par rayons vecteurs reciproques (Nouv. Ann. de
Math. 2. Ser. III, 1864). - Für das Folgende s. besonders J. de la Gournerie,
Memoires sur les lignes spiriques (Liouvilles Journ., 2. Ser. IV, 1869). Andere
wichtige Betrachtungen sind von Ribaucour gemacht in der Memoire sur les
courbes enveloppes de cercles et sur les surfaces enveloppes de spheres (Nouv. Corr.
math. V, 1879, und VI, 1880) und in der Note von Liguine, Sur les aires des
courbes anallagmatiques (Bull. des Sc. math. 2. Ser. V, 1881).
3) Man nennt ihn den Inversions-Kreis.
4) Wir bezeichnen im allgemeinen mit c7(b) das, was man erhält, wenn
man auf die Figur P die Inversion 7 anwendet.