Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

352 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
wenn man setzt
(a2 + b2 cos2 a) tg ip - b2 sin c cos a
C) = arc tg ab — sin -
a b sin a
oder auch wegen Gleichung (6)
(1 - mn cos2 cc) tg q + mn sin a cos a
tg G=... (8)
1/ - nn sin o
Betrachten wir im besonderen als zweiten Halbmesser des Sektors
den Halbmesser OB, so ist in diesem Falle
so m sin m sin
3"12, oder auch tg wp =;
sin (a - 9p)o 1 +- m cos;c
infolgedessen wird Gleichung (8) nach einigen Reduktionen
tg /= / 1+ osC- (9)
n 1 m + m cos
Wenn aber, entgegen der vorhin gemachten Annahme, m und n dasselbe Vorzeichen haben, so sind die Kegelschnitte K sämtlich Hyperbeln. Ist nun x _ 2 (5'
a2 b(5')
eine derselben, so hat man b2
mn Zn=-........ (6')
es besteht auch die Gleichung (7), jedoch der Wert von co wird nicht
mehr durch (9) gegeben, sondern durch folgende Gleichung:
1n + m cos a
Fassen wir zusammen, so können wir sagen: Die Fläche Z des von
den beiden gegebenen Halbmessern OA und OB begrenzten
Sektors des Kegelschnitts K ist durch (7) gegeben, während
co durch (9) oder (9') bestimmt wird, jenachdem K eine Ellipse
oder eine Hyperbel ist. In dem Spezialfalle, dafs OA eine Axe ist,
werden die Gleichungen (7), (9), (9'), weil =2 ist, zu
ab 2 -n 2 C M
S-(l)l 2 tg2 s, $g2 G
die von Wantzel aufgestellt wurden, der stillschweigend annahm,
dafs der erste Durchmesser, von dem man ausging, eine Axe sei.
Wir betrachten nun einen dritten Durchmesser der Kurve r,
O C und den dazu,konjugierten. Wenn y m'x und y nx die
Gleichungen dieser beiden sind, so ist
m'n' =mn;........ (10)
Die Fläche des Sektors BOC' wird gleich sein der des Durchmessers
A OB, daher wird die des Sektors AOC das Doppelte von der des