Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

348 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
fo(X)y2 + f2(x)Y2 - + + of,-2 x) = 0,
f;(x)y~-2 2+f3(x)y2"-~ + + f21(x) =- 0,.. (4)
wo fk(x) im allgemeinen ein Polynom vom Grade k7 in x ist. Wenden
wir auf diese dieselben Betrachtungen wie auf (1) an, so ergiebt sich:
n(n+4) n(n+4)-1
Es giebt oo 4 oder oo 4 Kurven nter Ordnung mit einer bestimmten axialen Symmetrie, jenachdem n gerade oder ungerade ist;
eine bestimmte Symmetrie zu besitzen, ist daher äquivalent mit
(n+ 1)2- 1oder (n 1) einfachen Bedingungen für eine Kurve
nter Ordnung, jenachdem n gerade oder ungerade ist. Die Zahl der
(n+ 1)2r- 1
Kurven nter Ordnung mit axialer Symmetrie beträgt daher oo 4
bezw. (oo\/2 ~
Die Tangenten an die Kurve rF die r zum konjugierten Durchmesser in Bezug auf die Richtung d hat, in den einfachen Punkten,
in welchen r sie schneidet, sind parallel zu d. Alle übrigen zu d
parallelen Tangenten sind Doppeltangenten. Die Tangenten in zwei
gegenüberliegenden Punkten schneiden sich auf der Axe; singulären
Punkten entsprechen symmetrisch gegenüberliegende u. s. w. - Wenn
die Kurve von ungerader Ordnung ist, so geht sie durch den unendlich fernen Punkt von d und hat daselbst einen Wendepunkt; in besonderen Fällen kann dieser von einer gröfseren, aber immer ungeraden
Vielfachheit sein; wenn dagegen die Kurve von gerader Ordnung ist,
so geht die Kurve eine gerade Anzahl von Malen, Null nicht ausgenommen, durch den unendlich fernen Punkt von d.
Allen diesen, die axial-symmetrischen Kurven betreffenden Sätzen,
entsprechen ebenso viele die centro-symmetrischen Kurven betreffende.
Jedoch die letzteren erfreuen sich einer Besonderheit, der nichts Analoges bei den Kurven entspricht, mit denen wir uns jetzt beschäftigen;
während nämlich eine algebraische, nicht zerfallende Kurve nur in Bezug
auf ein Centrum symmetrisch sein kann (da eine Strecke ja nur einen
Mittelpunkt haben kann), so kann sie in Bezug auf mehrere Axen
symmetrisch sein; um dies zu zeigen, möge das Beipiel der Kegelschnitte
genügen, die ja symmetrisch in Bezug auf jeden Durchmesser und den
dazu konjugierten sind. Die Untersuchung der Verteilung der Durchmesser einer Kurve wurde mit mäfsigem Erfolge von Euler ) versucht, der jedoch das Leitgesetz dieser Verteilung erkannt hat; dieses
Gesetz wurde dann später in seiner ganzen Allgemeinheit von Wa n tzel2)
1) Sur quelques propridted des sections coniques qui conviennent a une infinite d'autres lignes courbes (Mem. de l'Acad. de Berlin, I, 1745).
2) Memoire sur la theorie des diametres rectilignes des courbes quelconques
(Liouvilles Journ., XIV, 1849).