Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Dreizehntes Kapitel: Kurven mit Centrum oder mit Symm.-Axen. 345
durch ihr Centrum eine ungerade Anzahl (2r + 1) von Malen hindurch; falls r 0, so ist die entsprechende Tangente eine Wendetangente.
Es sei I ein einfacher unendlich ferner Punkt der in Bezug auf
C symmetrischen Kurve F; da I mit seinem Gegenpunkte koinzidiert,
so mufs CI die Kurve in 1 berühren; folglich: Alle Asymptoten, die
zu einfachen unendlich fernen Punkten einer centrischen Kurve gehören, gehen durch das Centrum. Um zu sehen, wie die Tangenten
in einem unendlich fernen, r-fachen Punkte einer centro-symmetrischen
Kurve verteilt sein können, schreiben wir die Gleichungen (1) in
folgender Weise:
2f 2t + t -2. 2.... o -2z +(p0
f + 2 f -2 2 +,,.f 2 2 i (a X + by) 0
wo z eingeführt ist, um die Homogenität herzustellen. Jede Tangente
im Punkte (ax + by = 0, z- 0) wird eine Gleichung von der Form
ax+-by= coz haben; aufserdem sieht man leicht, dafs, wenn r<2t - 2i
ist, co 0 sein mufs, während, wenn r> 2 — 2 t, c = oo sein wird.
Im ersteren Falle geht jene Tangente durch das Centrum der Symmetrie, während sie im zweiten mit der unendlich fernen Geraden
zusammenfällt. In dem zwischenliegenden Falle, r =2 - 2;, erhält man
wobei man sich vorzustellen hat, dafs in den Formen /g22+, P2++i
x= gesetzt sei. Weil nun r eine gerade Zahl ist, so sind
die r Werte von co, von denen nicht mehr als zwei reell sind,
paarweise gleich, aber von entgegengesetztem Vorzeichen. Folglich:
Die Tangenten in den unendlich fernen vielfachen Punkten einer
centrosymmetrischen Kurve fallen entweder mit der unendlich fernen
Geraden zusammen, oder gehen durch das Centrum, oder sind in
Bezug auf dieses paarweise symmetrisch; reell sind höchstens zwei
derselben.
Seien M, N zwei auf einer durch C gehenden Geraden g gelegene
Punkte von r, dann liegen auf g auch die Gegenpunkte M' und N'
von M und N; wenn wir nun im besonderen annehmen, dafs M und N
zusammenfallen, so fallen auch M' und N' zusammen, und g wird
eine Doppeltangente werden; daraus folgt: Alle Geraden durch das
Centrum einer Kurve, welche diese in endlicher Entfernung berühren, sind Doppeltangenten derselben. Ebenso: Betrachtet man
zwei beliebige Punkte M und N von r und ihre Gegenpunkte 1M'
und N', so werden die Sehnen MN und M'N' nicht nur parallel
sein, sondern auch gleichen Abstand vom Centrum haben; insbesondere