Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die Trisektrix-Kurven. 337
daher sind, wenn NoNT = 2a, die Gleichungen der beiden Geraden
NNo und NN
y n —r y r
tg -- a, tg -a.
a -+- x c a - x n
Die Gleichung des betreffenden Ortes wird man nun erhalten, wenn
man a aus diesen beiden eliminiert. Bequemer ist es jedoch diesen
darzustellen, indem man x und y als Funktionen des Winkels = —
darstellt; man erhält so die beiden Gleichungen:
sin(2r - n) sinß sin (n-)ß ')
X -- n a. sin - -- y 2-a -. i15
sin_ _ f ir 'sin n- (
Leicht leitet man daraus ab, dafs die so erhaltenen Kurven rational
und von der Ordnung n sind. Man kennt bis jetzt keine mechanische
Konstruktion derselben in kontinuierlichem Zuge, die sie für die Teilung eines Winkels thatsächlich anwendbar macht (vgl. die Bemerkung
auf S. 324, Z. 4-6).
150. V. Erheblich komplizierter ist die Definition anderer SektrixKurvenl), zu deren Betrachtung wir gelangen durch folgenden Satz:
In dem Kreise mit dem Mittelpunkt 0 und dem Durchmesser AoE - 2r
sei der Winkel A _2 OA, = (n - 2). - A1 OA, (s. Taf. XII, Fig. 90,
wo n = 5 angenommen ist) und man führe folgende Konstruktion
aus: Man ziehe die Gerade A A_2n und bezeichne deren Schnitt mit
dem Durchmesser AoE mit B_2; auf dem verlängerten Radius OA1
trage man OCG_2 = OB._2 ab; man beschreibe den Kreis mit dem
Mittelpunkte Ao und dem Radius AoCn_2 und bestimme den zweiten
Schnittpunkt D1 mit OA,; man ziehe AoDn, welches neuerdings die
Peripherie des gegebenen Kreises in An schneidet; man zeichne den
Schnittpunkt P. der Geraden AoA.+, mit dem Kreise um 0 und dem
Radius ODn; endlich ziehe man den Radius OP"AÄ. Dann ist der
Winkel A OAÄ das n-fache, und der Winkel AoOA A+ das (n + 1)fache des Winkels AoOA -= p.
Beweis: Es ist nämlich
A A1 OBn_2 + -\ A, oA2 = A An-2 OBn-2
oder
d r OBsin 2 sin sin(n - 3)9p = r OB._i sin(n- 2)(p
daher Or sin (n- 3) p
~-2 sin (n - 2) cp - sin qp
Beschreibt man nun den Kreis um Ao mit dem Radius AoO und bestimmt dessen zweiten Schnitt G mit OA1, so ist
OG=2r cos p, OD=- Cn-G,
1) A. van Grinten, Die n- und (n + 1)- Teilung des Winkels und des
Kreises (Archiv LXX, 1874).
Loria, Ebene Kurven. 22