Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

332 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
dementsprechend n- 1 äquidifferente Werte erhalten; jene Schnittpunkte bilden daher ein regelmäfsiges Vieleck mit der Seitenzahl
(n -1); da nun a beliebig ist, so schliefsen wir: In eine Kurve CQ
können oo' regelmäfsige (n - )-Ecke einbeschrieben werden; jedes
derselben ist zugleich einem Kreise einbeschrieben, der durch die
Punkte A und A' geht. - In ähnlicher Weise zeigt man: In eine
Kurve Fr können oc regelmäfsige (n+l 1)-Ecke einbeschrieben werden.
Heymann hat auch eine organische Erzeugung der Araneiden
durch eine kontinuierliche Bewegung angegeben, die ihre thatsächliche Anwendung für die Teilung eines Winkels in gleiche Teile ermöglicht (vgl. S. 324, Z. 3-6).
148. Zu einer besonderen, sehr bemerkenswerten Kategorie der
Schoute'sche Sektrix-Kurven ist man durch ein Verfahren gelangt1),
das verschieden und unabhängig von dem ist, welches der holländische
Geometer angewendet hat, und dessen wir hier Erwähnung thun
müssen. Seien (Taf. XII, Fig. 89) in einer Ebene H zwei feste Punkte
A, B gegeben, d sei ihre Entfernung und M die Mitte derselben.
Wir bezeichnen nun mit K M den Kreis mit dem Durchmesser AB und
dem Centrum M, mit K, und Kb die beiden mit dem Radius d und
den Centren A und B bezw. Wir nehmen jetzt beliebig den Punkt
P, in der Ebene 11, ziehen AP, und bezeichnen deren Schnitt mit
lm als P, darauf bestimmen wir auf der Geraden A.P den Punkt P2
derart, dafs die Strecke PP,2 den Punkt P zum Mittelpunkte hat.
Auf diese Weise wird für die Punkte von H eine involutorische
Cremona'sche Transformation hergestellt, die wir mit Ca bezeichnen
wollen; offenbar ist der Kreis Km^ für dieselbe eine Kurve, deren Punkte
sich selber entsprechen.
Nehmen wir A als Pol, AB als Polaraxe und die Koordinaten
der entsprechenden Punkte P, und P, bezw. 1, ro1 und Q2, co, so
haben wir offenbar die Relationen
0i =) (,1 + -Q = 2d cos co... Co(9)
Gehen wir zu kartesischen Koordinaten über, so läfst sich die
Transformation CE darstellen durch die Formeln
2dx1- X2-12 _ 2dsx- 12 ---. 2. (10)
x2 -- x1 2 2 Y2 x- - Yl ' ' vlv
die beweisen, dafs Ca eine kubische Transformation ist; das entsprechende homaloidische Netz wird von cc2 Kurven dritter Ordnung
gebildet, die A zum Doppelpunkte und B zum gemeinschaftlichen
singulären Brennpunkte haben; sie ist daher eine spezielle kubische
Transformation De Jonquieres, die zwei Paare zusammenfallender
Fundamentalpunkte in den beiden Kreispunkten I und J hat, in den
1) H. Nägelsbach, Die Kreiskonchoiden (Progr. Erlangen, 1885).