Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die Sektrix-Kurven. 329
Die Kurven der ersten sich so ergebenden Kategorien sind Sektrices
im hervorragenden Sinne des Wortes; denken wir uns nämlich eine
derselben für einen gewissen Wert von n' gezeichnet, und legen einen
gegebenen Winkel a mit dem Scheitel auf A' und mit dem einen
Schenkel auf A'B, so wird der andere Schenkel die Sektrix in n
Punkten P schneiden, deren jeder mit A verbunden einen Winkel
PAA', der gleich dem n'ten Teile von a -- k7c ist. Unter dieser Kategorie von Sektrix-Kurven findet sich: für n'= 1 die unendlich ferne
Gerade; für n'- 2 der um A' mit dem Radius A'A beschriebene
Kreis; für n'== 3 die Trisektrix von Maclaurin1) (s. Nr. 46).
In der zweiten Kategorie erhält man die einfachste Kurve bei
n= 2, n 1; sie ist ein Kreis; alsdann kommt diejenige, bei welcher
n =2, n'==3; sie ist eine Kurve vierter Ordnung, die Sesquisektrix
heifst. Wir überlassen es dem Leser nachzuweisen, dafs sie nichts
anderes als eine besondere Pascal'sche Schnecke (s. Nr. 69) ist; diejenige nämlich, welche man erhält, wenn man auf den von einem
festen Punkte der Peripherie ausgehenden Sehnen Strecken gleich
dem Radius abträgt.
147. Die rationalen Sektrices der ersten von den beiden oben
bezeichneten Kategorien haben die Polargleichung
2a sin(n )
sin(-).cp.
die man aus (6) und (1) erhält, wenn man n= 1 setzt und n statt n'
schreibt. Auf diese Kurven traf der Ingenieur Wasserschleben
und untersuchte sie in der Abhandlung Zur Teilung des Winkels2).
Unabhängig von ihm und von Schoute, wurden sie darauf betrachtet
von 0. P. Dexter3), von Habich4) und von G. Lazzeri5). Der
vorletzte der angeführten Autoren hat in seiner Arbeit eine geistvolle
Beobachtung gemacht, die wir hier berichten wollen. Bei der Gl. (7)
war bisher angenommen, dafs n ganzzahlig sei; es ist klar, dafs sie
auch dann einen Sinn behält, wenn man für n gebrochene und irrationale Werte zuläfst; wir können daher in ihr n kontinuierlich sich
1) Von diesem Gesichtspunkte aus wurde die Kurve durch J. d'Almeida
untersucht, Sobre una curva de terceiro grao (Jorn. de Teixeira, VI, 1885).
2) Archiv der Math. LVI, 1874. Daselbst sind die kartesischen Gleichungen
der 3-Teilungs- und 5-Teilungskurve gegeben; in der zweiten dieser Gleichungen
findet sich ein Versehen, das von A. Radike verbessert worden (Zur Teilung des
Winkels, das. LXIII, 1879); indem W. irrtümlich glaubte, dafs die 3-Teilungskurve ein Folium Cartesii sei, so sah er sich veranlafst, die n-Teilungskurven,
die wir sogleich betrachten werden, Verallgemeinertes Cartesisches Blatt
zu nennen; es ist klar, dafs dieser Vorschlag zurückgewiesen wurde.
3) S. das Werkchen The division of angles (New-York 1881).
4) S. den Artikel Division de un angulo in Nr. 12 der Gaceta cientifica de
Lima, 1885.
5) Division d'un angle en parties egales (Mathesis, VI, 1886).