Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

328 V. Abschnitt:, Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Man ziehe nun durch A eine beliebige Gerade und nenne a den
kleinsten Winkel, welchen sie mit AA' bildet. Setzen wir
n cp = a (mod t),
so erhalten wir n Werte für %p, die untereinander inkongruent (mod Zr)
sind; diesen entsprechen ebensoviele von n' 9; demnach entsprechen
jeder durch A gehenden Geraden n solcher durch A', die die Kurve
in ebensovielen Kurvenpunkten schneiden; jede durch A gehende Gerade schneidet demnach die Kurve in n von A verschiedenen Punkten,
demnach ist der Punkt A ein (n'- l)facher für die Kurve, ebenso
ist A' ein (n - )facher Punkt. Diese Schlüsse werden durch die
Gleichungen (6) bestätigt und ergänzt. Die erste derselben läfst nämlich erkennen, dafs Q=0 wird, wenn man dem (p einen von 0 verschiedenen Wert giebt so, dafs n'cp - O (mod zr); man erhält so die
Werte,,........,n- denen ebensoviele die Kurve in
X, n'' f '
A berührende Geraden entsprechen. Also teilen die (n'- 1) Tangenten der Kurve in A zusammen mit der Geraden AA' den Winkelraum um A in n' gleiche Teile. In ähnlicher Weise teilen die
(n - 1) Tangenten an die Kurve im Punkte A' zusammen mit der
Geraden AA' den Raum um A' in n gleiche Teile.
Wir haben gesehen, dafs jede Gerade r durch A, n von A verschiedene Punkte der Kurve enthält. Nehmen wir im speziellen an,
dafs r durch 1, den einen der beiden imaginären Kreispunkte gehe;
dann wird tgncp=-i sein, und - dies beweist Gleichung () -
tg p=i und tgn' 9= i; daher entsprechen der Geraden AI n mit
A'I zusammen fallende Geraden: I ist also ein n-facher Punkt der
Kurve. Dasselbe trifft zu für den anderen Kreispunkt J. Die untersuchte Kurve (von der Ordnung n + n'-1) schneidet also die unendlich ferne Gerade in den vorher aufgefundenen n -n' -1 reellen Punkten
und in den beiden imaginären Kreispunkten, die n-fach zu zählen sind.
Weitere Singularitäten, aufser denen in den Punkten A und A', I und J,
besitzt die Kurve nicht; sie ist daher vom Geschlechte
(n+n'-2)(n+n'- 3) (n' 1)(n'- 2) 2n(n -1) ( ( + l)
2 2 2
demnach ist sie rational, wenn n = 1, oder auch, wenn n n'- 1.1)
1) Unter dieser Voraussetzung werden die Gleichungen (6')
(0
2 a sin -
2 a sin n', n'
wenn n= 1, Q sin (n' - 1)co. n
sin - Go
2 a sin - o 2 a sin — c
sin co Co.
sin --
sie wurden schon von uns in einem besonderen Falle angewandt (S. 82, Note 2).