Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

304 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
primen Zahl, die kleiner als 2 ist, eine Lösung der Gleichung (i).
Demnach ist, wenn ungerade
Und so schliefsen wir: Die Zahl der verschiedenen Arten von Rhodoneen von der Ordnung n wird gegeben durch op(n), wenn n ein
Vielfaches von 4 ist, dagegen durch s(n) + -(), wenn n eine
einfache Paarzahl ist. Somit giebt es nur eine einzige Rhodonee
zweiter Ordnung, zwei der vierten Ordnung (entsprechend den Werten
= 3 und y = ), vier von der sechsten Ordnung (entsprechend den
Werten t =2, t, 5, 5-), ebenso vier von der achten Ordnung u. s. w.
Gehen wir nunmehr zur Untersuchung der einfachsten Fälle über:
I. =,, n= 2; (Q== R sin c. Gehen wir zu kartesischen
Koordinaten über, so erhalten wir als Gleichung x2 + y2 = By, die
einem Kreise mit dem Mittelpunkte (o, ) angehört, dessen Radius
-= 2 Grandi glaubte irrtümlicherweise, dafs zu dieser Rhodonee
auch der symmetrisch in Bezug auf die x-Axe gelegene Kreis gehöre.
II. =: 3, ni =4; Q=R sin 3x. Diese Rhodonee hat nur
eine Schicht; sie besteht aus drei gleichen Blättern, deren Symmetrieaxen die Radien des Fundamentalkreises sind, die mit Ox die
Winkel bezügl. 3,, -- bilden. Wegen ihrer Form ist die Kurve
gleichseitiges Kleeblatt (reguläres Trifolium) genannt worden,
und wir sind ihr schon in Nr. 75 begegnet.
1 <1
III. tu = -, n = 4; ' R sin -. Als kartesische Gleichung
hat die Kurve 3y ==(x2 +y2)(3R2-4(x2 +y2)); sie berührt die
x-Axe im Anfangspunkte und schneidet sie in den Punkten mit der
Abseisse -+-| hat den Punkt (~ 2) als Doppelpunkt und den
Punkt (0,-R) als einfachen Punkt. Die Kreispunkte der Ebene
sind Doppelpunkte derselben. Sie ist eine rationale Kurve vierter
Ordnung, von Gestalt ähnlich der Pascal'schen Schnecke (Nr. 70), mit
einem Knotenpunkt.
IV. - ==2, n=6; Q =:R sin 2 o. Sie ist eine Rhodonee
von einer Schicht, bestehend aus vier gleichen Blättern (s. Taf. XI,
Fig. 75), sie ist von der sechsten Ordnung und hat folgende kartesische Gleichung (x2 + y2)3 = 412x2y2y.
Man kann sie als eine Grenzform der Skarabäen (s. Nr. 105) ansehen, d. h. als Fufspunktkurve einer regulären Astroide in Bezug auf
ihren Mittelpunkt, oder auch als Ort der Fufspunkte der vom Scheitel
eines rechten Winkels auf die sämtlichen Lagen einer Strecke von