Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi. 303
dafs die Zahl der Lösungen a (b - 1), und daher haben wir folgenden Satz'): Die durch die Gleichung Q = R sin (- ) dargestellte
Rosenkurve besitzt in einer Entfernung vom Mittelpunkte, die weder
0 noch unendlich grofs ist, Doppelpunkte, deren Zahl - a (b - 1) oder
2a(b -1) ist, jenachdem von den Zahlen a,b keine oder eine
einzige ungerade ist.
136. Der vorhin bewiesene Satz über die Ordnung einer algebraischen Rosenkurve eignet sich auch zur Beantwortung folgender Frage:
~Welches ist die Zahl der verschiedenen Arten von Rhodoneen von gegebener Ordnung n?" Natürlich müssen wir n als
gerade annehmen. Wenn nun f(n) die gesuchte Zahl ist, so wird
diese offenbar die Summe der Zahlen f,(n) und f,(n) sein, von denen
die erste die Anzahl derjenigen verschiedenen Paare ungerader, relativ
primer Zahlen bedeutet, welche der Relation
(a) a + == n,
genügen2), während die zweite die Anzahl derjenigen Zahlenpaare, von
denen die eine gerade, die andere ungerade ist, bedeutet, die der
Relation genügen
(O 2(a + b) =.
Beschäftigen wir uns vorerst mit der Gleichung (a). Da a und b
relativ prim sein sollen, so ist auch jede derselben relativ prim zu n.
Nehmen wir umgekehrt für a einen beliebigen zu n relativ primen
Wert an, kleiner als n, so darf man für b den Wert n- a nehmen;
demnach ist die Anzahl der Zahlenpaare, die der Gleichung (a) genügen, gleich der Anzahl der Primzahlen, die kleiner als n sind.
Bedienen wir uns daher eines von Gaufs3) eingeführten Symbols, so
können wir schreiben
f(n) == P (n)
Wir gehen über zu (j); da n eine gerade Zahl, so kann man
diese schreiben a + -b =; da hier eine der Zahlen a, b gerade, die
andere ungerade sein mufs, so ist diese Relation unmöglich, wenn -
gerade ist; also ist
f2(n) = 0, wenn gerade;
wenn hingegen - ungerade ist, so entspricht jeder zu 2 relativ1) Himstedt, a. a. O. S. 5-7.
2) Als verschiedene Paare sind auch zu betrachten solche, die durch Vertauschung der Elemente auseinander entstehen, da sie verschiedene Kurven liefern.
3) Disquisitiones arithmeticae, Art. 38.