Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

300 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
da nun 2~ — + (2k+ ' so ist der zum Werte o q- gehörige
2 IL -~ 2 gehörige
Radius vector gleich dem Maximum B; und weil
R sin -- ~ k c\= - l)k 2 os t,
so ist klar, dafs zwei zu einem Maximal-Vector symmetrische Radienvectoren einander gleich sind, mit anderen Worten: Die Blätter der
Rosenkurve sind symmetrisch in Bezug auf die Maximal-Radien1).
Demnach besitzt die Kurve xci Symmetrieaxen, wenn pt irrational ist;
wenn i= -~, besitzt sie deren 2a, wenn eine der Zahlen, b ungerade ist, a, wenn b eide ungerade sind.
Die Quadratur der Rosenkurven hat zu zwei erwähnungswerten,
von Grandi entdeckten Sätzen Veranlassung gegeben, die wir nun mit
Hilfe der modernen Methoden beweisen wollen.
Sei A die Fläche eines Blattes der durch Gleichung (1) dargestellten Rosenkurve. Dann haben wir
A=-4 J 2d ^ = sin-. --- sin22p- sin 2 uo
0 0
nun hat ein Quadrant des Fundamentalkreises den Inhalt Q 9
4
also ist A
welche Gleichung den ersten Satz von Grandi ausdrückt2). Wenn
i da sitA b7ZR2
insbesondere = —, so ist A - 4a; wenn daher a und b beide
ungerade sind, so besteht die Kurve aus a Blättern, deren Fläche
b - - *b. Q ist, wenn jedoch nur eine dieser Zahlen ungerade ist, so
ist die Gesamtfläche 2b. Q; somit ist, wenn b = — 1, die Fläche gleich
dem vierten Teile oder gleich der Hälfte des Fundamentalkreises,
jenachdem a ungerade oder gerade.
Bezeichnen wir mit B die Fläche, die von den beiden zu den
Winkeln - und - gehörenden Radienvectoren und zwischenliegenden Kurvenbogen umschlossen wird, so haben wir (s. oben)
3rt
4 2 1 L4 2 Z
B -- I pCo - - sin2 acLCo +1)
4
Nun haben jene beiden Vectoren die gemeinsame Länge
1? sin
1) Grandi, Flores geometrici etc. S. 4. 2) Das. S. 15.