Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

282 V Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
zug auf den dieses Dreieck ein zu sich selbst polares (autopolares)
ist, u.. w.
Es ist nun leicht einzusehen: Wenn man auf eine triangulärsymmetrische Kurve eine beliebige projektive Transformation anwendet, so erhält man eine andere triangulär-symmetrische Kurve
mit demselben Exponenten, die zum Fundamentaldreieck das transformierte des ursprünglichen Fundamentaldreiecks hat. Etwas ähnliches ergiebt sich bei gewissen reziproken Transformationen, mit
denen wir uns nun beschäftigen wollen.
Betrachten wir den Kegelschnitt
k X 2 + /7.22 + 72x32 -,...... (10)
und beachten, dafs die Koordinaten der Tangente im Punkte (x1, x2, x3)
an die Kurve (9) gegeben werden durch
m-l
r = ~ ~ (i = 1, 2, 3),..... (11)
wo r ein Proportionalitätsfaktor ist, so hat der Pol dieser Tangente
in Bezug auf den Kegelschnitt (10) die Koordinaten X1 X2, X3, die
durch folgende Gleichung bestimmt werden
x, =. (i = 1, 2, 3),... (12)
wo Q wieder ein Proportionalitätsfaktor ist. Eliminieren wir die x
aus (9) und (12), so erhalten wir die Gleichung der Polarreziproken
der triangulären Kurve (9) in Bezug auf den Kegelschnitt (10); es
ist folgende m m
(7C1X1) X)"r-lt + (k2 2X2)m,) - + (k+3a3X3)m --- 0.. (13)
Sie gehört einer triangulären Kurve an mit dem Exponenten -t = 1 -und hat dasselbe Fundamentaldreieck wie (9); also: Die Polarreziproke
einer triangulär-symmetrischen Kurve mit dem Exponenten m in
Bezug auf einen Kegelschnitt, für welchen das Fundamentaldreieck
autopolar ist, erweist sich als eine ebensolche Kurve mit dem Exponenten i =-m -1. Wir bemerken zweierlei: Erstens, dafs die
Relation zwischen m und /t in folgender symmetrischer Form geschrieben werden kann t + 1 1. Zweitens, dafs jede triangulärm
symmetrische Kurve mit dem Exponenten 6/, wie z. B. folgende
xiy 2 3t x,,,
( ~ ) + -( + t)~ * n - - * 0 (14)
durch Polarisierung von (9) in Bezug auf einen passend gewählten
Kegelschnitt erhalten werden kann; in der That koinzidieren die Gleichungen (13) und (14), wenn die k1, k2, 7k folgender Bedingung genügen
k1 aD = k 2 CC2 — = kc a3.