Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

280 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Führt man noch den Bogen s als unabhängige Variabele ein, so läfst
sich daraus ableiten dx y l)
-- xy —dx dy ds ls
(m - 1) RM - ~ d x
y
Betrachten wir nun den so entstandenen Ausdruck für (m-1)R,^,
so sehen wir, dafs dieser weder von a und b, noch auch von m abhängt, sondern nur von den Koordinaten x, y des betrachteten Punktes
und von der Richtung der Geraden, die daselbst die Kurve berührt;
mit anderen Worten - benutzen wir die von S. Lie eingeführte
Nomenklatur2) - es ist (m - 1) RB eine Funktion nur von den Linienelementen der Kurve, die ihren Sitz im Punkte P haben. Daraus
folgt, wenn wir eine andere Lame'sche Kurve vom Typus (1) betrachten z. B. folgende
("+ (\)- ''
und wir nehmen an, dafs sie die vorige im Punkte P berühre, dafs
der Wert der Funktion ('- 1) R, derselbe sein wird, wie der der
Funktion (m- 1) R,. Daraus folgt
(m-l) m-((m-1l) R,, oder 1. 1 (7)
welche Beziehung folgender Satz ausdrückt: Wenn zwei auf dieselben
Axen bezogene Lame'schen Kurven mit den Indices m und m' sich
in einem Punkte berühren, so wird das Verhältnis der Krümmnngen
in diesem Punkte durch m-1 ausgedrückt. Wenn man daher den
Krümmungsradius in einem Punkte der unendlich vielen sich daselbst
berührenden Lame'schen Kurven konstruieren kann, so ergeben sich
daraus dieselben für alle die anderen. Nehmen wir z. B. n'= 2, so
1
erhält man Rr= - i Re, somit ist die Bestimmung von R/, zurückgeführt auf die Konstruktion des Krümmungsradius in einem Punkte P
eines Kegelschnittes, der unzweideutig durch die Lage seiner Axen, durch
den Punkt P und die zugehörige Tangente bestimmt ist. Ähnliche
Reduktionen ergeben sich, wenn man m'= 1 oder m' = setzt.
Mit Benutzung Euler'scher Integrale gelangt man zu einer eleganten Formel für die Quadratur der Lame'schen Kurven. Beachten
wir nämlich, dafs die Kurve (1) folgender parametrischer Darstellung
fähig ist 2 2
x = a cosm, y b sin;m^,
1) Bezügl. einer anderen Form, die man diesem Ausdrucke geben kann,
s. R. Godefroy, Theoremes sur les rayons de courbure d'une classe de courbes
geometriiques (Nouv. Ann. 3. Ser. V, 1886).
2) Man s. z. B. L i e-Scheffer, Geometrie der Berithrungstransformlationen I
(Leipzig 1896) S. 11.