Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

270 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Nach Elimination von (p aus der ersten und der letzten Gleichung
ergiebt sich xy2k a2k+1,
womit die Behauptung bewiesen ist. - Nebenher erkennt man aus
den angeführten Relationen, dafs wenn man eine Kurve konstruiert
derart, dafs die Koordinaten x, y eines ihrer erzeugenden Punkte P
gleich ABkl und AD sind, man hat
X = a coskl(p, Y cos ucp
/c 1 y COS q
woraus durch Elimination von cp sich ergiebt
xy2k-1 a2k
demnach ist der Ort der Punkte P eine Hyperbel gerader Ordnung.
Wir beschliefsen dieses Kapitel mit der Bemerkung, dafs die
Hyperbeln für p = 1 Spezialfälle der hyperbolischen Kurven mit
der Gleichung =
oX r
7.
sind, und dafs die Parabeln und diese Hyperbeln besondere Fälle von
Kurven sind, die durch eine Gleichung von folgendem Typus dargestellt
werdenm m-I
po xm x' + X m- x.......Pm
Y ----
q0 Xn Xn -1 +
von denen Maclaurin wichtige Anwendungen machtel). Er bemerkte auch, dafs, wenn n > m, sie die x-Axe zur Asymptote haben,
wovon man sich unschwer überzeugen kann; wenn dann n > m - 1,
und man schreibt
xn-my ==~~qxl r x x..-m S~ Z + 1. aLn- t Jr;.., p
oX + q 1 x 1 + q + + n
so sieht man, dafs für alle positiven Werte von x die Gröfse xn-"ly
kleiner ist als eine bestimmte endliche Konstante; infolgedessen ist
xo
die zwischen einer Ordinate, der Kurve, und der Abscissenaxe belegene
Fläche von endlichem Werte. Es ist dieses eine weitere Eigentümlichkeit der fraglichen Kurven, die Maclaurin aufgefunden hat.
1) Treatise on fluxions (Edinburgh, 1742) ~ 327.
2) S. z. B. Serret-Harnack, Differential- und Integral-Rechnung II.
(2. Aufl. Leipzig 1899) S. 83.