Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

266 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Das Auftreten der ersteren beweist den angeführten Satz von Joh.
Bernoulli, während die dritte den Schlüssel zur Lösung des von
Fagnano gestellten Problems liefert; die zweite ist eine Kurve fünfter
Ordnung, die Bogen mit rektifizierbaren Differenzen enthält. Alle
entsprechenden Kurven wird man erst dann kennen, wenn man alle die
Fälle weifs, in welchen die Differenzialgleichung (9) integrierbar ist').
Drittes Kapitel.
Die Hyperbeln beliebiger Ordnung.
120. Wie man durch Verallgemeinerung der kanonischen Gleichung y2 =px der Parabel zum Begriffe der Parabeln höherer Ordnung kommt, so gelangt man durch Betrachtung der Gleichung
xy =a2 einer auf die Asymptoten bezogenen Hyperbel zu den
Kurven, die durch eine Gleichung von folgendem Typus dargestellt
werden: xnlyP - an+P,..... (1)
wo n, p positive ganze Zahlen sind. Sie heifsen Hyperboloiden
oder Hyperbeln höherer Ordnung2), rechtwinklige oder schiefwinklige, jenachdem die Axen senkrecht oder schief zueinander sind3),
monosinguläre, wenn p-=1, bisinguläre, wenn p=2 ist4).Schreiben wir die Gleichung in der Form
p p1
yn =- (t n ' x
so zeigt sich deutlich die Analogie mit der Gleichung (1) in Nr. 116,
1) Den obigen Ausführungen fügen wir noch hinzu, dafs in einigen neueren.Werken (R e u s chle, Praxis der Kurvendiscussion I, Stuttgart 1886; H a a s, Kleyer's
Lehrbuch der Differentialrechnung, Stuttgart 1894) für einige Parabeln spezielle Namen eingeführt sind, die mit Ricksicht auf ihre Gestalt gewählt wurden; es sind
folgende: Wendeparabel (p2y-x3), Flachparabel (p3y=x4), Spitzparabel
(py3=x4), Wendespitzparabel (y5-p2x8) u.Wendeflachparab el (p4y =x).
2) Leibniz nannte sie gelegentlich Hyperboloeides (Leibniz ed. Gerhardt,
V, Halle 1858, S. 90). Andere, wie der Marquis de l'Höpital (Analyse des
infinimenzt petits, 2. Aufl., Paris 1705, S. 14), Caraccioli (De lineis curvis liber,
Pisis 1740, S. 37) und Maclaurin (Traite d'Algebre, Paris 1753, S. 183) nannten
Hyperbeln die Kurven Aym+n'- B(a +x)mxxn, von denen das folgende Kapitel
handeln wird (s. auch Encyclopedie methodiqueII, Paris 1885, S. 33; Montferrier,
Dictionnaire des Sciences mathematiques II, S. 102, und Hoffmann, Mathematisches Wörterbuch III, Berlin 1861, S. 276). 9
3) Zu den Hyperbeln gehören auch die Kurven y = x-a141, y = x 8, denen
man in der mathematischen Physik unter dem Namen der adiabatischen
Diagrammkurven begegnet (Holzmüller, Die Ingenieur-Mathematik, I. Teil,
Leipzig 1897, S. 136), ebenso die Newton'sche Gravitationskurve mit der
Gleichung x=-py-2 (Daselbst, II. Teil, Leipzig 1898, S. 15 if.).
4) Reuschle, das o. a. Werk, S. 54-55,