Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Die Parabeln beliebiger Ordnung. 265
durch teilweise Integration ergiebt sich daraus
m+2 S / /x (x/+ () dx
oder auch + aC W
(s ).... (8)
Nehmen wir das Integral auf der rechten Seite zwischen zwei
bestimmten Grenzen, so ist seine Bedeutung folgende: Abgesehen von
dem konstanten Faktor W+2 ist dieses gleich einem Bogen der
Parabel (7), vermindert um die Differenz zwischen den Längen der
Tangenten in seinen Endpunkten, wenn man, wie gewöhnlich, unter,Länge der Tangente" die Strecke zwischen dem Berührungspunkte
und dem Schnitte mit der x-Axe versteht. Nehmen wir daher auf der
Pararabel vier Punkte PO, P?, QO, Q1, welche den Abscissen Po, pl, q0 q
entsprechen und ziehen die Tangenten Poo? PiR1, QoSo0, Q1S1, so
können wir aus (8) die beiden folgenden Gleichungen ableiten:
Bogen PP, - (P R, - PoRo) + - dp
m o 1 + a
Po
Bogen Q Q 1-(1 - S1)- QO SO) = +2 y- P
Kann man nun zwischen den p und q eine Beziehung aufstellen,
derart, dafs das Integral in der ersten dieser Gleichungen identisch
wird mit dem in der zweiten, so hat man
Bogen PoP - (P,R, - PoRo) Bogen QQ, - (QS, - QoSo),
und die Bogen PoP, und Q Q1 haben dann eine rektifizierbare Differenz. Die Frage ist demnach auf die Integration folgender Differenzialgleichung zurückgeführt:
dpdD —.... (9)
+ 0/ ((9)
worin die Wurzeln beliebige Vorzeic hen haben. Fagnano hat die
Integration in den Fällen m- 4, 3, 6 ausgeführt, indem er bezw.
die Parabeln erhielt
x 2x2 X4
y 3as y -- 2 =- 4a;
5a2