Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Die Nephroide und die Atriphtaloidc. 239
Nimmt man OA als Polaraxe und 0 als Pol, so ist ersichtlich
AB =-2 2sin-; daher ist die Polargleichung der fraglichen Kurve
=a + 2a sin - * (1)
Gehen wir zu kartesischen Koordinaten über, so wird diese
(x2+y2)(x2 + 2 - 2)2 -4a2( + -2 2ax)=0.. (2)
Die Nephroide ist demnach eine Kurve sechster Ordnung mit A als
dreifachem und 0 als Doppelpunkt; Doppelpunkte sind ferner die
Kreispunkte der Ebene, und die unendlich ferne Gerade ist Tangente
an die Kurve sowohl in dem einen, wie in dem andern; ebenso sind
die Verbindungslinien von 0 mit den beiden Kreispunkten Doppeltangenten. - Die vom Radius vector eines Punktes der Kurve während
einer vollständigen Drehung beschriebene Fläche wird gemessen durch
27t 27t
J 2.drco- (3a2 -2a2cos co + 4 a2 sin dc a 3ca2 + 2(2a)2;
o o
ist also gleich dem Dreifachen des gegebenen Kreises vermehrt um
das Doppelte des Quadrates über dem Durchmesser dieses Kreises.
Das Interesse, welches die Nephroide bietet, scheint sich ausschliefslich auf ihre Anwendung für die Konstruktion der regelmäfsigen
Vielecke mit der Seitenzahl 7.(22 + 1) zu konzentrieren, vorausgesetzt, dafs 22 ^eeine Primzahl ist. Um ihre derartige Anwendung
klar zu legen, bezeichnen wir den Mittelpunkt des Radius OA mit F,
errichten in diesem Punkte die Senkrechte, und nennen P' den Schnitt
derselben mit dem äufseren Bogen der Nephroide; B' sei der Schnitt
von OP' mit dem gegebenen Kreise. Wird nun die Sehne AB' gezogen, so entstehen die beiden gleichschenkligen Dreiecke OAB' und
AB'P'. Mit qp bezeichnen wir den Winkel B'OA und die gemeinsame
Grröfse der Winkel OAB' und OB'A mit tb. Dann ist (p + 2-= r.
Da nun auch Dreieck P'OA gleichschenklig ist, so hat man
P'AB' = B'P'A = cp - p.
Beachten wir schliefslich, dafs OB'A Aufsenwinkel des Dreiecks B'AP',
so finden wir p =2(q ( —). Aus den beiden zwischen p und, bestehenden Beziehungen ergiebt sich
3 2 X
'P =,- 7C f 7f>? t- 7
Dies beweist, dafs wenn die Nephroide gezeichnet vorliegt, man mit
Zirkel und Lineal den ganzen Umfang des Kreises in sieben gleiche
Soc. X, 1879. - Früher war der Name,nephroid" von R. Proctor zur Bezeichnung der zweispitzigen Epicykloide angewendet worden (A treatise on the
cycloid and all formes of cycloidal curves, London 1878, S. 79).