Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

234 IV. Abschnitt: Spez. algebraische Kurven v. höherer als der 4. Ordn.
mit der positiven Richtung der x-Axe bilden. Aufserdem setzen wir
der Kürze halber
Fr - (x - a)2 + y22 r2 = (x- a2)2 + vy2
und daher
(x - a1)(x - a,) + y2 + F1 - ). (1)
Sind nun x und y die Koordinaten von M, so erhält man leicht die
vier Beziehungen
BR cos oft + Zl cos co x - ac; -R sin Co1 -t 11 sin Co = y;
BR cos 2 12cos = c - c2; Rg1 sin 02 12 sin gc y.
Durch Elimination von cor aus den beiden ersten und c 2 aus den
beiden letzten erhält man
2 (x - a1)11 cos w + 2y11 sin o = -7 - R12 + l12,
- 2(x - a.)1, cos c) - 2yl, sin co = - R,22 + 12.
Durch Elimination von co aus diesen beiden erhält man die Kurvengleichung. Wenn man um der Kürze wegen setzt
P = 2(x - a,) Q = 2y1 R = - R2 + Z2
p'= - 2(x - z2)2 = - 2y1 R'-= r-,22 + -12,
so kann das Resultat der Elimination in einer der beiden folgenden
Formen geschrieben werden
(PQ' _ P'Q)2 - (PR' - p'R)2 + (QR' - Q')2.. (2)
(P2 + Q2 2). (P'2 + Q'2_ R'2) = (PP' + QQ'- RR)2. (3)
Aus '(2) geht hervor, dafs die folgender Gleichung genügenden Punkte
Doppelpunkte der Watt'schen Kurve sind:
P Q R 0
p' Q, 1<
d. h. gemäfs den aufgestellten Bezeichnungen
0_ l== x-a +, (x-a,)2-R +l2.. (4)
1-, (x - a,) (x a -- )- (2- 22
Demnach hat die Watt'sche Kurve drei Doppelpunkte auf der festen
Seite des Gelenkvierseits. Setzen wir in (2) für die P,...., ' die
Werte ein, so findet man:
41212(a, - a2)282 = [(11r - - 11 22 2 12 12 1112 + ( 12)
- [1 r + a, 1r2 - 2?112 (al2 - a 21) - a 11 -22- a12 1}
+ 82 {((1r74+ l2, ) + 1+ 2+ 123 11r2 l/2R122}2. (5)
Da diese Gleichung vom 6. Grade, so folgt: Die Watt'sche Kurve ist
von der sechsten Ordnung. Jeder Kreis schneidet die Kurve nur