Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Die Watt'sche Kurve. 233
hat eine grofse praktische Bedeutung, indem er bei der Untersuchung
jener bekannten, 1784 von Jacob Watt erdachten Vorrichtung auftritt,
die man nach ihm das Watt'sche Parallelogramm genannt hat.
Bei dieser Untersuchung ist insbesondere die Lösung des folgenden
Ortproblems erforderlich: "Ein Vierseit AB CD, dessen Grundlinie AD
festliegt, ist in allen Ecken gelenkig gegliedert; es gilt, den Ort
aller Lagen, die ein bestimmter Punkt M der gegenüberliegenden
Seite BC annimmt, zu finden." Wir werden diesen Ort die Watt'sche Kurvel) nennen; andere, um ihre Gestalt anzudeuten, nennen
sie Lemniskoide (lemniscoide) oder Inflexionskurve (courbe
a longue inflexion)2).
Um die Watt'sche Kurve zu zeichnen, beschreibt man die Kreise
um die beiden festen Punkte A und D als Centren mit den Radien
von der Länge der Seiten AB und CD (vgl. Taf. IX, Fig. 59). Man
nehme alsdann den Punkt B auf dem ersten Kreise beliebig an und
beschreibe mit dem Radius an Länge gleich der Seite BC des Gelenkvierecks einen Kreis; dieser schneidet den zweiten (Direktrix-) Kreis
in zwei Punkten C' und C"; auf jeder der beiden Geraden BC' und
BC" giebt es einen Punkt M der Watt'schen Kurve. Durch Variation
von B erhält man unendlich viele derselben. Es ist klar, dafs nicht
immer alle Punkte des ersten Kreises zu reellen Punkten der Kurve
führen; um das brauchbare Stück desselben zu finden, beschreibe man
um den Mittelpunkt des zweiten Kreises D mit den Radien B C+ CD
zwei Kreise; diese begrenzen auf dem ersten Kreise zwei Bogen, welche
den besagten Bezirk ausmachen. Dieselbe Konstruktion kann man
eventuell in Bezug auf den zweiten Kreis wiederholen.
Nichts ist leichter, als die Normale, und demnach auch die Tangente,
in einem beliebigen Punkte M der Watt'schen Kurve anzugeben. Ist
nämlich ABCD die zugehörige Lage des Gelenkvierecks, so ist der
Punkt 1, in welchem sich die Geraden AB und CD schneiden, das
zugehörige Centrum der augenblicklichen Rotation; IM ist daher die
Normale zu dem Orte des erzeugenden Punktes M.
Um die Gleichung der Watt'schen Kurve zu finden, nehmen wir
die Gerade AD als x-Axe, 0 als Anfangspunkt, bezeichnen mit a1
und a2 die Abscissen von A und D, mit Bl, IR die Radien der
beiden Leitkreise, ferner mit Zl und 12 die Längen B M und MC, und
schliefslich mit co1, Gc2, co die Winkel, welche die Geraden AB, CD, BC
1) Ihre Gleichung scheint zum erstenmal von Prony aufgestellt zu sein;
s. Koenigs Le9ons de cineneatique (Paris 1897) S. 262, woselbst als Quelle eine
Arbeit von HIton de ]a Goupilliere zitiert wird.
2) A. J. H. Vincent, Essai d'une theorie du parallelogranmme de Watt
(Mem. de la Soc. de Lilie 1836-37) und Note str la theorie du parcallelogramme
de Wctt (Nouv. Ann. VII, 1848).