Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

226 IV. Abschnitt: Spez. algebraische Kurven v. höherer als der 4. Ordn.
Leitgeraden liegen und die Ecken eines Rechtecks bilden. - Im Falle
der Winkel c ein beliebiger ist, wollen wir die Kurve als schiefe
Astroide bezeichnen.
Der thatsächlich am häufigsten vorkommende Fall ist der, dafs die
beiden Leitgeraden zueinander senkrecht sind (s. Taf. VIII, Fig. 57b);
die Kurve heifst dann allgemein reguläre Astroide oder'die regelmäfsige Vierspitzenkurve, während Montucci sie mit dem Namen Cubocycloidel) und Matthiesen mit Paracykel2) bezeichnete. Die reguläre Astroide hat drei Spitzendoppeltangenten, sie ist
daher reziprok zu den Kurven vierter Ordnung mit drei Inflexionsknoten, und deshalb wurde der Name projektive Astroide3) für
alle rationalen Kurven sechster Ordnung vorgeschlagen, die mit drei
Spitzendoppeltangenten versehen sind. Da nur vier von den Spitzen
der Astroide reell sind, so wandte Bellavitis den Namen Tetracuspide zu ihrer Bezeichnung an4), der jedoch nicht angenommen
wurde, vielleicht weil die untersuchte Kurve nicht vier, sondern
sechs Spitzen hat.
Da die reguläre Astroide zu einer Kurve vierter Ordnung mit
drei Inflexionsknoten dual ist, so besteht für sie der zum Laguerre'schen Satze (Nr. 97) duale, nämlich folgender Satz: Jede Tangente t
einer Astroide schneidet die Kurve in vier weiteren Punkten, deren
zugehörige Tangenten durch ein und denselben Punkt P gehen.
Wir fügen noch hinzu, ohne es zu beweisen: Von diesen vier Tangenten (und den zugehörigen Berührungspunkten) sind nur zwei
reell, und der Ort, den der Punkt P beschreibt, wenn die Tangente t
sich bewegt, ist der der Astroide umbeschriebene Kreis (mit dem
Centrum 0, dem Radius 1)5).
Machen wir in den Gleichungen (3) und (4) a —, so werden
diese zu x=1 cos3 g, y - 1 sin3SP..... (3')
(x2 + y2 __ 12)3 + 271x2y2.... (4')
Statt dieser Gleichungen pflegt man häufiger eine andere, bequemere
1) Comptes rendus LX1, 1865, S. 441; daselbst ist die Anwendbarkeit der
Astroide auf die Lösung der Gleichungen 5. Grades gezeigt.
2) Über die mechanische Construction einiger Curtven, welche sich zur Auflösung des Problems von der Duplication des Würfels verwenden lassen (Archiv
XLVIII, 1868).
3) S. Retali, Intermediaire V, 1898, S. 68.
4) Sposizione del metodo delle eqipollenze (Mem. della Soc. Ital. delle Scienze
XXV, 2. Teil, 1850) Nr. 191; ferner Exposition de la medthode des equipollences,
übers. v. Laisant (Paris 1874) S. 229.
5) Über diesen Satz, den man einer Aufgabe von A. Boutin (Intermediaire
IV, 1897, S. 170) verdankt, siehe man die vielen Mitteilungen im Intermnediaire
IV, 1897, S. 239; V, 1898, S. 68; VI, 1899, S. 31 und 281.