Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

222 IV. Abschnitt: Spez. algebraische Kurven v. höherer als der 4. Ordn.
Die Polargleichung der Radiale geht aus diesen beiden Gleichungen
hervor, wenn man co daraus eliminiert; die zweite liefert uns
sin q9 cos qp 1
bsin c a cos Co b2 sin2-t a2 cos2 w'
demnach wird die erste zu
ae b (s _ (a b)3
(a2 cos2 o+ b2 sian2 co)
oder 2(a2 cos2 0 + b sin2 ()3 = a4b4.
Dies ist die gesuchte Gleichung1); gehen wir zu kartesischen Koordinaten über, so wird sie
(a2x2 + b2y2)3 - c4b4(x2 + y2)2.
Die Radiale der Ellipse ist demnach von der sechsten Ordnung, hat
den Anfang als vierfachen Punkt, und die Tangenten. in diesem fallen
paarweise mit den bezüglichen isotropischen Geraden zusammen.
Ähnliches findet statt für die Hyperbel.
Trägt man aber den Krümmungsradius vorm Centrum aus auf
den zugehörigen Durchmesser ab, so erhält man die durch folgende
beiden Gleichungen bezw. ausgedrückte Kurve
abQ = (aC sin2 co + bS cos2 c)3,
a2(b2 (2 + y2)4 - (Ca2y + b2x2)3 0.
Sie ist eine Kurve von der achten Ordnung, deren Rektifikation
hyperelliptische Funktionen verlangt, deren Quadratur jedoch durch
elementare Funktionen ausgeführt werden kann2).
4. Ebenfalls von der Ellipse 2 + y2 -1 === 0 hat Wolstenholme eine andere Kurve sechster Ordnung abgeleitet, die bemerkenswert ist, zumal da sie zu sich selbst reziprok ist3). Er betrachtete einen beliebigen Punkt 0 der Ellipse E und beschrieb um
0 als Mittelpunkt einen Kreis K, so beschaffen, dafs es ool Dreiecke
giebt, die in E einbeschrieben und K umbeschrieben sind. Die Enveloppe aller dieser Kreise wird gebildet von der Ellipse mit der
Gleichung x2 2 t a + b2\
(2 + b2 = - b2-62
und der Kurve r, die durch folgende Gleichungen dargestellt wird
a cos b a sin2 9- b~2 cos2e
a = { 2 a + b + 4b a2 sin - + Ocos- '
b s_ in& bl b + a + 40 b2 cos{e ü - 2 saa sn
_&in - bJ2 Q b 21/1 4 2 cos2 —cü s + al s
1) R. Tucker, The radial of an ellipse (Quart. Journ. XVIII, 1882).
2) Tortolini, Sulla curva luogo geometrico dei raggi di curvatura l'una
ellisse data (Annali di Matem. VI, 1864).
3) On a certain envelope (Proc. of the Lond. Math. Soc. XV, 1884).