Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

218 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
In einer Ebene sei ein Kegelschnitt r gegeben. Jeder Punkt P
der Ebene ist Centrum einer Involution von in Bezug auf die Kurve r
konjugierten Geraden. Ferner kann man einen unendlich kleinen Kegelschnitt betrachten, die sogenannte Indikatrix von P,1) der P zum
Centrum und diese Geraden als konjugierte Durchmesser hat; ein solcher
Kegelschnitt kann angesehen werden als bestimmt durch den Winkel A,
den eine seiner Axen mit einer festen Geraden bildet und durch das
Verhältnis r der Längen seiner Axen. Somit gehören zu jedem Punkte
der Ebene zwei Gröfsen A und r. Man kann nun den Ort derjenigen
Punkte betrachten, für welche eine dieser beiden Gröfsen konstant ist;
ist die erste konstant, so heifst die Kurve isogone Linie, ist die
zweite konstant, so heifst sie Niveau-Linie. Alle diese Kurven sind
von der vierten Ordnung, wie der Leser verifizieren kann.
Wir schliefsen dieses Kapitel mit der Anführung folgender Sätze,
die man zum Teil Steiner verdankt2):
Der Ort der Mittelpunkte der einem gegebenen Dreiecke einbeschriebenen Kegelschnitte,,die einem gegebenen Kegelschnitte ähnlich sind, ist eine Kurve vierter Ordnung, die die unendlich ferne
Gerade in den Kreispunkten, und die Geraden, die je zwei Mittelpunkte der Seiten verbinden, in den Punkten berührt, in welchen sie
den Kreis schneiden, in Bezug auf welchen jenes Dreieck zu sich
selbst konjugiert ist.
Der Ort der Kegelschnitte, die einem gegebenen Dreiecke umbeschrieben sind, und von denen man das Axenverhältnis kennt, ist
eine Kurve vierter Ordnung, die die Seitenmittelpunkte zu Doppelpunkten hat, und die unendlich ferne Gerade in den Kreispunkten
berührt.
Der Ort der Mittelpunkte der Kegelschnitte, die einem gegebenen
ähnlich sind, und in Bezug auf welche ein gegebenes Dreieck zu sich
selbst konjugiert ist, ist eine Kurve vierter Ordnung, welche die
Ecken des Dreiecks zu Doppelpunkten hat und die unendlich ferne
Gerade in den Kreispunkten berührt.
1) A. Haas, Über die Indicatricen der Kegelschnitte (Zeitschr. XXXIV. 1889).
2) Für den Beweis siehe: G. Loria, Studii sulla teoria delle coordinate
triangolari (Giornale di Matern. XXIV. S. 206, 210 u. 213).