Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitel: Kurven 4. Ordn. mit drei Inflexionsknoten. 207
96. Die Entwickelungen in der vorigen Nr. haben hinlänglich
gezeigt, wie nützlich bei der Lemniskate die Darstellung der Koordinaten vermittelst rationaler Funktionen eines Parameters ist. Aber
es giebt noch einen weiteren analytischen Kunstgriff, den man in
anderen Fällen herbeiziehen kann. Nehmen wir nämlich Fi und F2
als Fundamentalpunkte eines b ip olaren Koordinatensystems,, und Q,
so ist Q. = a
die Gleichung der Lemniskate; man kann setzen
Q -= ae, Q2- = ae —"
wo u einen Parameter bedeutet; oder auch wenn wir die hyperbolischen Funktionen einführen:
=-(- a (;o0 u + Ein u), Q2 = a (ou u tt- Ein u). (17)
Um hier von diesen Formeln eine Anwendung zu machen, zeichnen
wir uns die Halbierungslinie MD des Winkels F IMF2. Dann haben wir
117^D+E2D=2a, F, — ~
Fr D + F2 - F - 2a, - Q
F72D Q2
und wegen Gleichung (17)
F1,D= a(1 + gu), F2 D = a (i - Sg u), OD = a g t.
Aufserdem ist nach einem bekannten elementar geometrischen Satze
F7M. 12 F2M= lMD2 + F1D F2D,
und wenn wir also die gefundenen Werte einsetzen
MD = a Zg u.
Daraus folgt, dafs MD = OD, welche Beziehung durch folgenden
Satz ausgedrückt wird: Die beiden Radien vectoren eines beliebigen
Lemniskatenpunktes bilden mit der Verbindungslinie der beiden
Brennpunkte ein Dreieck, welches die Eigentimlichkeit hat, dafs die
Halbierungslinie des Winkels der beiden Vectoren an Länge gleich
ist der Entfernung ihres Endpunktes vom Centrum der Kurve1).
Noch in anderer Weise können die hyperbolischen Funktionen
bei der Lemniskate in Anwendung gebracht werden: Man setze
tg -i = g
und benutze die Gleichung (2); dann findet man als Ausdruck A für
einen Lemniskatensector:
Ä l f2 a2(f/ r du du in u
A 0 0' 2J 0o3U J o a — O 2
wenn man aufserdem noch vom Punkte F, das Lot F21<i auf den
1) W. Hefs, Eigenschaften der Lemniscate (Zeitschr. f. Math. XXVI, 1883).