Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

206 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Die so dargestellte Gerade ist in Bezug auf das Centrum der Kurve
symmetrisch zu der anderen
(i + $2)X + (i 2)y - aV2i == 0;
nun halbiert diese unter rechtem Winkel die Verbindungslinie des
Punktes (L) mit dem Kurvencentrum; demnach: Um die Tangenten an
die Lemniskate von einem ihrer Punkte zu konstruieren, verbinde
mian diesen Punkt mit dem Centrum, errichte auf dieser Strecke
die Mittelsenkrechte, die zu dieser in Bezug auf den Mittelpunkt
symmetrische Gerade schneidet die Kurve in den Berüihrungspunkten
der gesuchten Tangenten.
Wir können noch hinzufügen, dafs alle Geraden, die durch eine
analoge Gleichung wie (14) dargestellt werden, eine gleichseitige
a2
Hyperbel umhüllen, deren Gleichung x2 - y2 - ist.
Der Oskulationskreis an die Lemniskate im Punkte (Z) schneidet
diese noch in einem weiteren Punkte (t), welchen man den Satellitoder Begleitpunkt von l nennt; zwischen den Parametern A und &^
besteht dann (infolge G1. (13)) folgende Beziehung:
=;......... (15)
diese beweist also, dafs die Satellitpunkte von vier koncyklischen
Punkten ebenfalls wieder koncyklisch sind. Nun hat die Gerade
(i)(E) die Gleichung
(6+ 1)x + ( -G_ l)y-2 i23= 0,... (16)
jedoch diese Gleichung gehört dem Lote an, das vom Punkte (yt) mit
dem Parameter.- auf den zugehörigen Radius vector gefällt wird,
demnach ist der Winkel (i) (t) 0 ein rechter. Damit ist gezeigt:
Die Lemniskate ist die Fufspunktkurve der von der Geraden (16)
eingehüllten Kurve in Bezug auf den Punkt 0, d. i. von der gleichseitigen Hyperbel x2 -y=2a2; hierdurch ist die in Nr. 94 aufgestellte Behauptung bewiesen. - As (15) ergiebt sich auch, dafs durch
jeden Punkt (rt) der Lemniskate drei Kreise gehen, die sie anderswo
oskulieren; sind (id)(l)(2) die Oskulationspunkte, so hat man
V + 2+ 3 =A O? 2 3 + i3 l + 2 i3 -= 2 1 22A3
Daraus leitet man ab, dafs sie der Geraden
(l + 2)X + (i - - 2 y — / = 0
angehören. Beachtet man, dafs diese Gleichung die im Punkte (tt)
auf dem zugehörigen Radius vector errichtete Senkrechte darstellt,
so kann man den Schlufs ziehen: Durch jeden Punkt einer Lemniskate gehen drei Kreise, die sie anderswo oskulieren, die Schmiegungs(Oskulations-)punkte liegen auf der in diesem Punkte zum Radius
vector errichteten Senkrechten.