Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitel: Kurven 4. Ordn. mit drei Inflexionsknoten. 203
da nun die ganze Fläche =-4 A, so ergiebt sich, dafs sie gleich
T
2a2 ist, wie schon oben angegeben wurde und wie Fagnano zuerst
bewiesen hat1).
Den für A" gefundenen Ausdruck kann man auch schreiben
A, = A" sin 2co. (4)
2
Diese Beziehung führt zur Lösung folgender Aufgabe: ~Auf der
Lemniskate einen Radius vector zu finden, der den ersten Quadranten
in zwei Flächenstücke teilt, die in einem gegebenen Verhältnisse -
stehen2)., Indem nämlich
4
so hat man wegen (4)
sin 2 co * X
— sin = -,- und daher sin 2 o -
l - sin 2 co; l + P-
wodurch dann co bestimmt ist. Wenn z. B. Z -= I, so ist
1:
sin2co =, daher = -2
der Radius vector hat daher als Endpunkt einen solchen (s. oben),
dafs die entsprechende Tangente der zweiten Halbierungslinie des
Axenwinkels parallel läuft.
Aus der Gleichung (2) findet man ferner
2 a2 ~(5)
ds =.3).... * (5)
4-4 a v /
Aufserdem liefert Gleichung (6) von Nr. 89 folgenden Wert des
Krümmungsradius: 2 a2? -3%-,......... (6)
(6)
woraus sich die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes leicht er1) Produzioni mateematiche II. (Pesaro 1750) S. 343 u. 344. - Dieses Resultat, das man heute mit solcher Leichtigkeit erhält, dafs es von geringer
Wichtigkeit zu sein scheint, war von grofser Bedeutung, als es zuerst erhalten
wurde, da es zum Nachweise diente, dafs die Ansicht Tschirnhausens eine irrige
war (Acta erudit. 1691, S. 437 u. 1695, S. 490), dafs es unmöglich sei, die Quadratur einer Kurve, die aus mehreren Blättern bestehe, zu erhalten; Fagnano
war so durchdrungen von dem Werte seiner Erfindung, dafs er auf das Titelblatt seines grofsen Werkes die Figur der Lemniskate setzte mit der Inschrift:
~Multifariam divisa atque dimensa.
Deo veritatis gloria."
2) Bierens de Haan, die oben angeführte Dissertatio.
3) Die Gl. (5) beweist, dafs man die Rektifikation der Lemniskate durch
spezielle elliptische Integrale ausführen kann. Schöne Folgerungen hieraus enthält der Aufsatz von Ch. Sturm, Demonstration de deux theoremes de geomedtrie
(Ann. de Gergonne, XIII, 1822-23).