Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

192 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Punkt der (zu ihrer Definition benutzte) Punkt F ist. Man gelangt
zu einer neuen Kurve vierter Ordnung, die symmetrisch in Bezug auf
eine Axe ist, nämlich zu der durch folgende Gleichung dargestellten:
[72 - (a + x)2 y2 = (X2 + — 2 - a2). (4)
Diese Kurve besitzt zwei Doppelpunkte auf der x-Axe, nämlich die
mit den Abscissen + 1/acl-k2; sie sind daher reell nur dann, wenn
k < a; einer von ihnen ist dann ein Knoten, der andere ein isolierter
Punkt. Auf der y-Axe hat sie zwei einfache Punkte mit den Ordinaten - /k7c2-a2; diese sind reell nur, wenn k > a; sie hat dann
zwei Asymptoten, deren Gleichungen x 4- a -+ k = 0 sind; es sind
diese die Tangenten in dem unendlich fernen Knotenpunkte, welchen
die Kurve besitzt. Diese hat also drei Doppelpunkte und ist demnach rational. - Wenn k = a, so zerfällt unsere Kurve (4) in die
beiden x = 0, (2a + x)2 + x3 = 0,
d. h. in die y-Axe und eine Cissoide des Diokles. Dieser Umstand
macht es ratsam, im allgemeinen Falle die Kurve (4) als Cissoide
vierter Ordnung zu bezeichnen. In dem Falle nun, dafs diese Kurve
zwei reelle Doppelpunkte im Endlichen hat, kann sie auch ohne Beziehung auf die Konchale konstruiert werden und zwar auf eine Weise,
die angegeben zu werden verdient.
~Auf der x-Axe eines kartesischen Koordinatensystems bezeichnen
wir einen Punkt A (-a, 0) und beschreiben um diesen mit dem
Radius k < a einen Kreis r (Taf. VI, Fig. 50). Wir ziehen an
diesen die Tangenten O M1 und OMA0 und beschreiben um den Anfangspunkt 0 mit dem Radius 0O M1 — OM2 -= ]/a2 —2 = s einen
Kreis. Die Peripherie dieses neuen Kreises schneidet die x-Axe in
zwei Punkten, von denen der eine S1 aufserhalb, der andere S2 innerhalb von r liegt. Ist nun CC' eine beliebige durch 82 gehende Sehne
von r, so ziehe man die Geraden CQ und C'Q' senkrecht zu Ox und
bestimme deren Schnittpunkte P, P' mit dem von S, auf die Gerade
CC' gefällten Lote S F. Der Ort der Punkte P, P' ist die durch
Gleichung (4) dargestellte Cissoide vierter Ordnung."
Sind nämlich x, y die Koordinaten des Punktes P, so bezeichnet
-x die Strecke Q und y die Strecke PQ. Da nun
A CVP CS1QP - CQS2,
so bestehen die Beziehungen
QS, _CV CV _ Q und daher QS _
QP ~ PV' PV Q QP
Daraus folgt: c sX x) 2 - -s2
y y