Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die Konchalen. 191
Abscissen x = + aG1/2. Im allgemeinen Falle geht die Kurve durch
die cyklischen Punkte der Ebene und besitzt aufserdem im Unendlichen von Oy einen Berührungsknoten; die entsprechende Tangente
hat zur Gleichung x + a = 0, ist also die Gerade r. Die Konchale
bietet verschiedene Gestalten dar, je nach der relativen Gröfse der
Konstanten a und k: Im Speziellen
wenn k < a, besteht sie aus zwei unendlichen Zweigen und einem
Ovale;
k == a,,,, einer Serpentine und einem Zweige
mit Knoten;, k> a,,,, zwei unendlichen Zweigen.
Die Quadratur der Konchale hängt im allgemeinen von elliptischen
Funktionen ab, die Rektifikation von hyperelliptischen; für die rationalen Konchalen kann das erste Problem jedoch elementar gelöst
werden, während das zweite die alleinige Anwendung der elliptischen
Funktionen verlangt. Die Tangente an die Konchale in einem Punkte
P kann durch Spezialisierung eines allgemeinen von A. Hurwitz1)
gegebenen Verfahrens erhalten werden; man gelangt dann zu folgender Konstruktion: Man verbinde P mit F und errichte in F die
Senkrechte p zu PF; ebenfalls verbinde man P mit dem Punkte (pr)
und suche den zu dieser Geraden, in Bezug auf die beiden Geraden
p und r, konjugiert harmonischen Strahl; dieser wird parallel zur gesuchten Tangente sein.
Wenn man die Konstante k variiert, so stellt die Gleichung (1)
oo1 Kurven dar; die Differentialgleichung ihrer orthogonalen Trajektorien ist
dy[2x(x - a) + y2] - y (x + a)dx 0.
Durch Integration erhält man:
y*4 - 4axy,
[y2-2a( ) - _ const.; (3)
[y2- 2a(x - a)12..
demnach sind diese Trajektorien rationale Kurven vierter Ordnung mit
F als gemeinsamem Doppelpunkt und Berührungsknoten im unendlich
fernen Punkte von Ox; die unendlich ferne Gerade ist die zugehörige
Tangente.
89. Steiner hat folgendes allgemeine Problem gestellt2): ~Gegeben in einer Ebene 17 eine Kurve C. und ein fester Punkt P; den
Ort solcher Punkte M von H/ zu finden, dafs die Berührungspunkte
zweier von M an die Kurve CQ gezogenen Tangenten mit dem Punkte
P in gerader Linie liegen." Dieses Problem kann nun leicht gelöst
werden, wenn die gegebene Kurve eine Konchale ist und der feste
1) Über Tangentenkonstruktionen (Math. Ann. XXII, 1883).
2) Ges, Werke, B. 1I (Berlin 1884) S. 599.