Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Elftes Kapitel: Rationale Kurven 4. Ordn. mit einem Berührungsknoten. 187
ist1), die 0 als aufserordentlichen Brennpunkt hat; A ist der Berührungsknoten, die zugehörige Tangente ist senkrecht zu OA. Die Kurve
zeigt verschiedene Gestalt, jenachdem a > r. Wenn a < r, d. h. A
innerhalb des gegebenen Kreises liegt, so ist 0 ein Knotenpunkt und
die entsprechenden Tangenten bilden mit OA einen Winkel, dessen
Cosinus - ist; die Kurve liegt ganz innerhalb des Kreises. Wenn
hingegen a > r, so ist 0 ein isolierter Punkt und die Kurve besitzt
zwei unendliche Zweige, die zu Asymptoten die beiden durch A gehenden Geraden haben, die mit der Polaraxe einen Winkel vom Cosinus
-- bilden und vom Pole dem Abstand haben.
a t;7- ai
87. Während die Külp'sche Konchoide und die Jerabek'sche
Kurve aufser dem Berührungsknoten noch einen Doppelpunkt haben,
hat die, von der jetzt die Rede sein wird, eine Spitze.
Es sei ein Kreis gegeben mit dem Mittelpunkte 0 (Taf. VI,
Fig. 48), dem Radius a, zwei aufeinander senkrechte Durchmesser
desselben AB, CD und schliefslich eine Gerade r parallel zu CD.
Man ziehe durch A einen beliebigen Strahl, der r in M schneidet,
dann von M die Parallele zu AB, welche die Peripherie des Kreises
in N schneidet und schliefslich durch N die Parallele zu CD. Ist
nun P der Schnitt dieser mit dem Strahle AM, so ist der Ort von
P eine derjenigen Kurven, die von G. de Longchamps quartiques
pyriformes genannt wurden2). Es ist vorteilhaft, aus dieser Konstruktion ein Verfahren herzuleiten, um die Punkte der Kurve zu
finden, die eine gegebene Abscisse AK haben (A als Anfang, AB als
x-Axe genommen): Man bestimme die Punkte N und V', in deene
der gegebene Kreis die vom Punkte K zu r parallel gezogene Gerade schneidet, dann die Punkte M und 1', in denen diese von
den durch N und N' zu AB gezogenen Parallelen getroffen wird;
projiziert man nun die Punkte M/ und M' von A aus auf die Ge
rade NN, in P und P', so sind diese die gesuchten Punkte.
Bezeichnet man den Abstand All des Punktes A von der Geraden
r mit b, nennt den variabelen Winkel MAB - = p und x, y die
Koordinaten von P, so ist M3 = b. tg p. Ferner ist offenbar
NK2 -= 2MH AK. KB,
und daher
b. tg2cp = x(a - x).
1) Dasselbe Resultat ergiebt sich auch, wenn man beachtet, dafs die
Ausgangskonstruktion die Kurve als erzeugt von zwei Strahlenbischeln in der
Korrespondenz [2, 2] mit den Centren in den Punkten 0 und A erscheinen läfst.
2) Essai sur la gdometrie de la regle et de Z'equerre (Paris 1890) S. 129,