Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

182 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Elftes Kapitel.
Rationale Kurven vierter Ordnuiig mit einem Berilhrungsknotei.
85. Gerard van Gutschoven, Schüler und Mitarbeiter des Cartesius, war von 1640-59 Professor der Mathematik in Löwen, dann
der Anatomie, Chirurgie und Botanik daselbst. Auf ihn weist R. F.
de Sluse in einem Briefe an Huygens vom 18. April 1662 bint) als
auf denjenigen, der folgende Aufgabe gestellt habe: "Gegeben eine
Gerade r und einer ihrer Punkte 0 (Taf. VI, Fig. 45); den Ort
eines Punktes M zu finden, derart, dafs wenn man OM zieht und
dann MN senkrecht dazu und r in N schneidend, MN gleich einer
gegebenen Strecke a wird." Nimmt man 0 als Pol und die Gerade r
als Polaraxe, so ist die Polar-Gleichung der Gutschoven'schen
Kurve ersichtlich a OSn.... (l)
der Ort selbst wird in kartesischen Koordinaten dargestellt durch die
Gleichung a2 Z 2(x2 ya)y,...... (2)
welche sich in dem Briefe von Huygens an de Sluse vom 25. Sept.
1662 findet2). Sie beweist, dafs eine Kurve vierter Ordnung vorliegt,
die durch die Kreispunkte der Ebene geht, die symmetrisch in Bezug
auf die Koordinatenaxen ist und im Anfange einen sog. Berührungsknoten hat; im Unendlichen hat die Kurve aufserdem einen Doppelpunkt, mit den beiden Geraden x = + a als zugehörigen Tangenten;
diese beiden Geraden begrenzen zugleich einen Streifen der Ebene,
innerhalb dessen sich sämtliche reelle Punkte der Kurve befinden3).
Der Anfang ist aufserdem ein aufserordentlicher einfacher Brennpunkt
der Kurve. Wegen ihrer Ähnlichkeit mit dem griechischen Buchstaben x ist sie die Kappa-Kurve4) genannt worden; sie ist von der
sechsten Klasse und daher nicht, wie man geglaubt hat, polarreziprok
zu sich selbst in Bezug auf einen Kegelschnitt5).
In dem vorhin erwähnten Briefe führt Sluse eine Konstruktion
der Tangente an die Kappa-Kurve an, die nicht schwer zu beweisen ist.
Aus (1) ergiebt sich folgende parametrische Darstellung der Kurve
COS2 c
x = a in. y a cosco
1) Oeuvres de iHuygens IV (Haag 1891) S. 207.
2) Das. S. 238.
3) Von projektivem Standpunkte aus ist daher diese Kurve nicht verschieden von der Konchoide des Nikomedes (s. Nr. 66).
4) Aubry, De 'usage des figurcs de l'espace pour la definition et la transformation de certaines courbes (Journ. de math. spec. 4. Ser. IV, 1895, S. 201).
5) Die genannte irrige Ansicht zu beseitigen, war ein Artikel von Genocchi
bestimmt (Nouv. Ann. XIV, 1855, S. 248-53).