Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Einige polyzomale symmetrische Kurven 4. Ordn. 177
Sind R und r die Radien der beiden Kreise und qp der Winkel
EDF, und nimmt man D als Anfang, DF als x-Axe, so findet man
leicht:
x=2 ocos2, =- + cosp - /r2 -Psin2. (ii)
und nach Elimination von (p
y 'RX+1V r+2R2... (12)
Diese Gleichung zeigt, dafs die Kurve durch Addition entsprechender
x x
Ordinaten der beiden Parabeln y2_- 2-, y2 - B 2 konstruiert werden kann. Diese Bemerkung ist wichtig, indem die von
G. a Sancto Vincentio angegebene Konstruktion nur einen Zug der
Kurve liefert, während doch diese sich ins Unendliche erstreckt; diese
neue Erzeugung hingegen liefert alle Punkte der Kurve, die im
Unendlichen auf der x-Axe einen dreifachen Punkt hat; diese Axe
doppelt gezählt und die unendlich ferne Gerade sind die zugehörigen
Tangenten.
VI. Gegeben zwei Kreise mit den beiden Durchmessern AC und
D F auf derselben Geraden (s. Taf. V, Fig. 42); eine beliebige Sehne DE
des einen schneide den anderen in B; von E ziehe man E G senkrecht zu DF, auf welcher man GP = BE abträgt. Der Ort der
Punkte P ist eine virtuelle Parabel`).
Die Konstruktion ist offenbar eine Verallgemeinerung der vorhergehenden. Die Gleichung der entsprechenden Kurve erhält man mit
denselben Axen und Bezeichnungen wie bei der ersteren in der Form
y = (d - 2B) Y + S + 2-,.. * * (13)
wo d die Abscisse des Mittelpunktes von A C ist. Auch für die Konstruktion dieser Kurve kann die Verwendung zweier Parabeln dienlich sein; der unendlich ferne Punkt der Abscissenaxe ist Berührungs^2 _ 2
knoten, und der mit der Abscisse d -- ist Doppelpunkt.
2 (d-8,)
83. Die virtuellen Parabeln erlangten keine sonderliche Berühmtheit, wahrscheinlich weil sie von einem Mathematiker erdacht worden
sind, dessen Ruhm durch unglückliche Versuche den Kreis zu quadrieren, befleckt war. Aber man begegnet ihnen, oder wenigstens
einigen verwandten polyzomalen symmetrischen Kurven vierter Ordnung, die sich auf andere als die oben aufgeführten sechs Arten erzeugen lassen, im Verlaufe von Untersuchungen oder in Arbeiten, die,
wie wir zeigen werden, höchst beachtenswert sind.
1) Opus geometricwm. Theor. CCXXX (II, S. 853).
L oria, Ebene Kurven. 12