Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Einige polyzomale symmetrische Kurven 4-. Ordn. 173
I. Gegeben ein Kreis mit dem Centrum H und dem Durchmesser
d, sowie ein bestimmter Durchmesser desselben A C (s. Taf. V, Fig. 37);
man ziehe durch A eine beliebige Sehne AG, dann von G die Parallele zum Durchmesser AC, welche die Tangente des Kreises in A
im Punkte E trifft und nehme auf ihr EP = GC. Del Ort von P
wird eine virtuelle Parabel sein').
Nimmt man A als Koordinatenursprung und den Durchmesser A
als y-Axe, so sieht man sogleich, dafs der Ort von P folgender parametrischer Darstellung fähig ist x = d sin co-cos Go, y = d cos co; eliminieren wir wo, so ergiebt sich die Gleichung des Ortes selbst, nämlich
d2(y2 x2)...... (5)
oder auch y= d+ d +.. (5 )
y — - - (5=)
Die so erhaltene Kurve findet sich wieder in der Introduction von
Cramer (S. 470), wo auch eine Anwendung derselben angegeben ist
(das. S. 496); es ist jedoch nicht angegeben, dafs die Erfindung derselben G. a Sto. Vincentio zukommt. Sie findet sich dann noch
in der Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen
Geometrie der Ebene von Magnus (Berlin 1833, S. 286), wo die Kurve
in folgender Weise konstruiert wird: "Gegeben ein Kreis mit dem
Centrum 0, dem Radius a und dem Durchmesser AB; von einem
beliebigen Punkte M seiner Peripherie aus ziehe man MN senkrecht
zu AB, dann von N das Lot NQ auf den Radius OM und trage
dann auf NM, NP = NQ ab." Der Ort von P hat dann als Gleichung a2y2 -+ x4 - a2x2; er ist also eine virtuelle Parabel, die sich
von (5) nur durch die Vertauschung der Axen und die Konstantenbezeichnung unterscheidet2). Magnus bemerkt dazu: "die Kurve hat
eine der Lemniskate ähnliche Gestalt"; Schlömilch3) sagt, nachdem er
die vorige Konstruktion angegeben hat, "die Kurve hat die Form
einer Schleife (oo)". Diese Bemerkungen stimmen mit folgenden
beiden Thatsachen überein: die eine, dafs die durch die Gleichung
a2y2 x2 (a2 - X2) dargestellte Kurve von Montferrier Lemniskate
genannt worden ist4), die andere, dafs ein neuerer Bearbeiter, zum
Unterschiede von einer berühmten Kurve, von der wir später (in
1) Opus geometricum,, Prop. CCXVI (II, S. 482).
2) Dieselbe Kurve wurde neuerdings u. a. von Schoute erhalten (Sur la
constrzction des courbes unicursales par points et tangentes, Archives neerlandaises
XX, S. 40 des Auszuges) durch Anwendung einer speziellen Maclaurin'schen
Transformation (Nr. 48).
3) Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis. I. T. (3. Aufl. Leipzig
1878) S. 87.
4) Dictionnaire des sciences matheiatiqzues (Bruxelles 1838) S. 170.