Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Cartesischen Ovale. 163
welche Gleichung aussagt: Ein Cartesisches Oval ist der Ort derjenigen Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten, multipliziert mit gegebenen Zahlen, eine konstante Summe ergeben'). Ein
Vergleich von (2) mit (1) zeigt, dafs das Oval durch den Punkt A
geht; wird i = v, so läfst (2) erkennen, dafs dann das Oval zu einer
Ellipse mit den Brennpunkten F und G wird, und wenn v - y
eine Hyperbel, welche Fälle wir aus unseren Betrachtungen beständig
ausschliefsen.
Eine unmittelbare Folgerung aus Gleichung (2) ist die, dafs das
Cartesische Oval zu derjenigen Kategorie von Kurven gehört, die gebildet wird von den Örtern der Punkte, deren Abstände von n festen
Polen, multipliziert mit beliebigen Konstanten, eine konstante Summe
geben. Man erhält nun bekanntlich die Normale eines solchen Ortes
im Punkte M, wenn man von M aus zu diesen Polen hin Strecken
zeichnet, die jenen Konstanten proportional sind, und deren Resultierende konstruiert2). Insbesondere um für das Oval die Normale
im Punkte M zu konstruieren, nehmen wir auf den Geraden MF
und MG zwei Punkte P und Q derart, dafs P-= MQ und vervollständigen das Parallelogramm PMQN; seine Diagonale MN wird
die Normale sein. Wenn wir nun die Winkel FMN und G-IN
MP:Q
mit i und r bezeichnen, so haben wir sin- s elche Gleichung
sin r sinZ
mit der vorigen verglichen ergiebt: sin --. Dies zeigt, dafs,
wenn ein Cartesisches Oval die Trennungslinie zweier Medien bildet,
deren Brechungsindex gleich Z ist, ein von F ausgehendes Lichtstrahlenbüschel sich in ein Büschel von Strahlen verwandelt, die in G zusammenlaufen3); daher die Wichtigkeit der besprochenen Kurve für
die Optik, und die Erklärung dafür, dafs man die beiden Punkte F
und G gewöhnlich die Brennpunkte nennt, sowie der Name aplanetische Linie (d. h. Linie ohne Abweichung), den man dieser Kurve
gegeben hat.
79. Nehmen wir den Brennpunkt 1' als Pol, nennen die Entfernung FG h, und die Polarkoordinaten, co, so nimmt (2) folgendes
Aussehen an:
tQ + v4/ - 2 Qh cos co + h2 1,
oder (v2 -i2)2 + 22 (L - 2h cosc) + v22 -/ 2 o=0 (3)
1) Die Gl. (2) ist eigentlich die bipolare Gleichung des Ovals für ein
Koordinaten-System, das die festen Punkte F und G als Pole hat. Von diesem
Gesichtspunkte aus ist diese Gleichung schon reichlich ausgebeutet worden.
2) Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (Torino 1887)
S. 140.
3) Zu denselben Schlüssen gelangte Frenet (Recueil d'exercises siur le calcul
infinitesimal, 3. Aufl. Paris 1873, S. 221), indem er einige allgemeine Formeln
anwandte; somit lieferte er analytisch, was Cartesius synthetisch darlegte.
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