Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

162 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Geometrie an. Daselbst teilt er, um an einem neuen Beispiele die
von ihm erfundenen neuen Methoden zu illustrieren, die Definition
und die Haupteigenschaften mit "de certaines ovales que vous verrez
etre tres-utiles pour la theorie de la catoptrique"1). Es sind diejenigen Kurven, die man gewöhnlich die Cartesischen Ovale nennt2).
Descartes giebt von ihnen folgende Erzeugung, indem er diejenigen
Betrachtungen, die zu ihrer Entdeckung geführt haben, verheimlicht:
~Es seien zwei Punkte F, G gegeben und eine Gerade r, die FG
in A schneidet (Taf. V, Fig. 35); man beschreibe um F einen Kreis mit
beliebigem Radius, und B sei einer der beiden Schnitte desselben mit
der Geraden FG. Man bestimme nun auf r einen Punkt C derart, dafs
AC
A- - A, wo 2 eine Konstante (den Brechungsindex) bedeutet; ~a savoir celle qui mesure les refractions, si on veut s'en servir pour la
dioptrique". Man nehme auf r auch die Strecke AR AG und beschreibe um G als Mittelpunkt und mit dem Radius CR einen zweiten
Kreis, der den schon beschriebenen in M schneidet. Der Ort der
Punkte M ist ein Cartesisches Oval."
Aus dieser ziemlich komplizierten Konstruktion kann man leicht
eine elegante Eigenschaft ableiten, die zur Charakterisierung der hier
betrachteten Kurven sehr geeignet ist. Beachten wir nämlich, dafs
infolge der Konstruktion
FM= FBB- FA- AB = FA + AC,
GM= -RC = AC - A = AC - AG,
so hat man ferner:
Ä. FM — GM =- AF- AG;
oder wenn man der gröfseren Symmetrie wegen Ä - - setzt. MF+v MG= AF-v AG;
nun ist die rechte Seite eine bekannte Gröfse; setzen wir daher.. AF-v AG=,....... (1)
so erhalten wir I. MF-f v. MG =....... (2)
1) La geometrie de Rene Descartes (Nouv. ed. Paris 1886) S. 41 if.
2) Vallee (Memoire sur la vision, Mem. des Savants dtr. XII, 1854) gebraucht den Namen Optoid e, der jedoch bald in Vergessenheit geriet. - Betr.
der Bibliographie s. Liguine, Liste des travaux sur les ovales de Descartes(Bull.
des Sciences mathematiques 2. Ser. VI, 1882). - Wir fügen noch hinzu, dafs
De Mairan andere Kurven vierter Ordnung betrachtete, die in der mathem.
Theorie des Lichts Anwendung finden; so sind die anaklastischen (Strahlenxy2 + Y2 (b + 2 y) 2 2
brechungs-) Kurven mit der Gleichung xY5 -y2(b ) - (S. die Abh.
y i d aa (b d+)2 ie, Pris 1.
Sur la refraction des corps in den M6m. de l'Acad. des Sciences, Paris 1740).