Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Einige Fufspunktkurven 4. 0. der dreispitz. Hypocykloide. 159
MHI senkrecht zu OA und HP senkrecht zu AM, so ist der Ort
der Punkte P ein schiefes Zweiblattl)." Um dessen Gleichung zu
finden, bezeichnen wir die Entfernungen OA, OB mit a, b, nehmen
A als Pol und AO als Polaraxe. Projizieren wir den Linienzug
AOBM auf AM, so erhalten wir
AM a cos c - +b sin Go.
Anderseits haben wir
9 = AP = AH. cos c = AM cos2 co,
daher schliefslich
Q = a cos3 co +- b sin ocos2o...... (8)
die gesuchte Gleichung ist. Die entsprechende kartesische lautet
(x2 + y2= =x (ax + by)...... (9)
Das schiefe Zweiblatt hat einen dreifachen Punkt in A; die entsprechenden Tangenten sind die y-Axe, doppelt gezählt, und die Gerade ax + by = 0. Im Spezialfalle a = 0 werden (8) und (9) zu
Q = b sin O cos2 o.. (8'). (X2 + y2)2= bxy. (9')
Die erstere verwandelt sich in Gleichung (6), wenn man b in 8 a, o in
2 co verwandelt, während die zweite Gleichung beweist, dafs die
dargestellte Kurve symmetrisch zur y-Axe ist; daher der Name gerades Zweiblatt, den sie erhalten hat (s. Taf. V, Fig. 34).
Aus (9') kann man ableiten, indem man x und y vertauscht und
statt b 4c setzt
y= - / + ax V- 2;..... (9")
daher gehört das gerade Zweiblatt zur Klasse derjenigen Kurven,
denen das Kap. 10 gewidmet ist. Es löst eine von Montucci in den
Nouvelles Annales im Jahre 1857 (S. 449) vorgelegte Frage, und ist
identisch mit der Duplicatrix-Kurve, die von demselben Geometer
in der Arbeit Resolution de l'equation du 5e degre (Paris 1869) angewendet wird. Wir bemerken noch, dafs die Gleichung (9") für die
Untersuchung des geraden Zweiblattes sehr nützlich ist2): sie führt
alsbald zur Bestimmung der Fläche der Kurve
2 f( x + +/ax - x2 dx - f(ax - Yax- -x') dx
0 0
4 fJ -xx2 dx = -
Es soll nicht übergangen werden, dafs in der Introduction von
Cramer sich noch eine Kurve findet, deren Gestalt dem geraden
1) G. de Longchamps, Essai S. 122.
2) Vgl. Elge, Sur le folium double (Journ. de Math. spec. 1896),