Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

156 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
champs') ihr gegebenen Namen Trefle oblique (schiefes Dreiblatt)
trägt, der auch von Brocard angewendet wird, dem Verfasser einer
ausgezeichneten Monographie über dieselbe2). Die Gleichung derselben könnte man unschwer vermittelst der Gleichung (1) einer
Tangente der Hypocykloide erhalten. Wir ziehen es jedoch vor, sie
zu erhalten, indem wir von folgender (von De Longchamps angegebenen) Definition, durch welche sie allgemein erhalten werden kann,
ausgehen: ~Gegeben ein Kreis mit dem Centrum 0, ein Punkt P
seiner Peripherie und eine feste Gerade r (Taf. IV, Fig. 31); man ziehe
von P eine beliebige Sehne PR; der um. R mit dem Radius PR beschriebene Kreis möge die durch 1R zu r gezogene Parallele in den
beiden Punkten MI, M' schneiden, deren Ort dann ein "schiefes Dreiblatt" ist 3).
Um die Gleichung desselben zu finden, nehmen wir ein Polarsystem mit P als Pol und dem Durchmesser des gegebenen Kreises
POD als Polaraxe; nennen wir den Winkel desselben mit der Geraden r c, den Radius des genannten Kreises a, und 9, o, die Koordinaten eines beliebigen Punktes M, dann ist
PR = 2a cos (2 - a), = PM = 2 PR.cos (o)- c),
daher ist = 4a cos (2 co - a) cos ( - ).... (3)
oder wenn man lieber will:
Q = 2 a cos G) + 2 a cos (3 o - 2 a).... (3')
die gewünschte Gleichung. Geht man zu kartesischen Koordinaten
über, so wird diese
+Y X^ + (+2 + 2) + X (2 _ 3-,2) COS 2c + y (x2 - 3y2) sin 2.. (4)
2a
Aus derselben ergiebt sich: Das schiefe Dreiblatt ist eine Kurve vierter
Ordnung mit P als dreifachem Punkte; die zugehörigen Tangenten
7e cx 3~v cr ~r
bilden mit der Polaraxe die Winkel - + 2' 9 + 2 4 - a, somit sind zwei derselben zu einander senkrecht und die dritte ist zur
festen Geraden senkrecht. Von der unendlich fernen Geraden wird
das Dreiblatt in den cyklischen Punkten der Ebene geschnitten. Aus
den Plücker'schen Formeln geht hervor, dafs die betrachtete Kurve
von der sechsten Klasse ist und sechs Wendepunkte sowie vier Doppeltangenten besitzt, eine derselben ist, wie gesagt, die unendlich ferne
Gerade, zwei andere sind die parallel zu der festen Geraden gehenden
Tangenten an den gegebenen Kreis, die letzte ist reell und im End1) Sur le trifolium (Journ. de math. spec. 1887).
2) S. die vor. Note.
3) Es ist leicht einzusehen, dafs diese Konstruktion als eine besondere, auf
den gegebenen Kreis angewandte Transformation angesehen werden kann.