Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

144 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
dafs die Berührungspunkte der an die Kurve von einem beliebigen derselben gezogenen Tangenten in gerader Linie liegen. Wenn nun x, y
die Koordinaten eines Punktes dieses Ortes sind und (21), (12), (;3)
die Berührungspunkte der entsprechenden Tangenten, so hat man vermöge Gleichung (4)
3x x -- 4a
+1 h 2 3= 2 23 + 3 i1 12 — 3 123 = -y-;
liegen nun diese Punkte in gerader Linie, so hat man wegen (5)
(X - a)2 + y 2 = a2
der gesuchte Ort ist also der Basiskreis der Kardioidel).
Die Kardioide ist eine Kurve vierter Ordnung und 3ter Klasse
mit drei Spitzen und einer Doppeltangente, ohne Doppelpunkte und
Wendepunkte, sie ist also korrelativ zu den Kurven dritter Ordnung
mit Doppelpunkt, die 4te' Klasse sind, drei Wendepunkte haben und
keine weitere Singularität. Kein Wunder also, wenn sie die Polarreziproke einer speziellen rationalen Kurve dritter Ordnung in Bezug
auf einen geeigneten Kreis ist, nämlich der Trisektrix von Maclaurin
(s. Nr. 47)2). Um diesen bemerkenswerten Satz zu beweisen, beachten
wir, dafs mit einer einfachen Verschiebung der y-Axe die Gleichung
der Trisektrix sich in der Form schreiben lafst
x (2+ y2) = 4R2 - 3R (x2 + y2) 3)
welche dann sogleich folgende parametrische Darstellung der Kurve
liefert 1;-2 -3S
x- T R y 2 R '
i + -' i +
Die Polare dieses Punktes in Bezug auf den Kreis x2 -- y2= P-2 hat
die Gleichung
x (1 - 3 2) + y (3 - 31) = R ( 1- 2).
Um die Enveloppe dieser Geraden zu finden, kombinieren wir diese
Gleichung mit ihrer Abgeleiteten nach 1, nämlich
-61x + 3y(P1 - ) 21i.
Dann bekommen wir
1? ~4__+6ß2_3 R 82
x — 14 3 (z+)....,
3 ( + 1)2- 37 (12 + i)'
oder auch
R R 1 4(1 - 2) __ 8
x - 3 3 (1 + 1>2)2, - 3 (- ---
1) Educational Times, LVIII, 1893, Frage 11247.
2) G. de Longchamps, Rapprochemenet entre la trisectrice de Maclaurin
et la c ardio'ide (Prager Ber., 1897).
3) Diese Gleichung entsteht aus der in Nr. 47 gefundenen kartesischen
Gleichung (2) durch Verwandlung von a in R und x in - (x -- 2 R).