Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Sechstes Kapitel: Verallgemeinerungen der Kolichoide u. s. w. 141
vierter Ordnung mit zwei Spitzen und einem Knoten ist, von projektivischem Standpunkt aus identisch mit einer Linie viel jüngeren
Datums, die an dieser Stelle wenigstens einen Hinweis verdient.
Gegeben seien (s. Taf. IV, Fig. 29) zwei Kreise F und r', einander
gleich und sich berührend; man betrachte einen beliebigen Punkt 11'
von r' und seine Polare mn in Bezug auf F, diese wird in einem
Punkte P geschnitten von der Geraden 1p, die durch M parallel zur
Verbindungslinie der Mittelpunkte 0 und 0' der gegebenen Kreise
gezogen ist. Der Ort des Punktes P ist eine Kurve, die von den
Engländern,the cocked hat", d. h. der aufgekrempte Hut, genannt
wird. Die oben angeführte Konstruktion - von Miss C. A. Scott erdacht) - eignet sich zur Auffindung der Gleichung sowie der Eigenschaften der Kurve. Nehmen wir 00' als y-Axe und 0 als Anfang
eines rechtwinkligen kartesischen Systems, so kann man als allgemeine
Ausdrücke für die Koordinaten des Punktes M folgende nehmen
x = a - cosco, y = 2a + a sin co,
wenn a der Radius von r und r'. Die Geraden in und p) haben daher
die Gleichungen
x cos g + (2 + sin 9) y - a bezw. x = a cos 9p.
Daher erhält man folgende parametrische Darstellung der Kurve:
a sin2 qp
x = a cos, 2y 2+ sin,... (7)
die damit beweist, dafs der,Kremphut" eine rationale Kurve ist.
Durch Elimination von g aus (7) erhält man als Gleichung der Kurve
(x2 + 2ay - a2)2 - y2 (a2 -- x2) =... (8)
oder, wenn man will,
x4 + 3ay2 + a 4 + 4ax2y - 2a2 - 4a3y 4 x2y2 - 0.
Aus derselben ergiebt sich, dafs die Kurve vollständig innerhalb des
Streifens der Ebene liegt, der begrenzt wird von den beiden gemeinsamen Tangenten, die zu 00' parallel laufen; die x-Axe schneidet die
Kurve in zwei Punkten D, D', die Spitzen sind und als zugehörige
Tangenten die Geraden haben, die diese Punkte mit dem Berührungsund dem Pole als Doppelpunkten, dieser ist nun Knoten, Spitze oder isolierter
Punkt, jenachdem ( +- a) (1-a) (1 + b) ( -b) 4a2b2, sodafs die Kurve verschiedene Formen haben kann. (S. M. Mühlenbruch, Über die cadioidenfö''mzigen Curven, welche durch die Polarcgleichung 9 = a + b sin t + c cos t gegeben
sind. Diss. Jena, 1867). Um sie zu konstruieren, beschreibe man zwei Kreise
mit den Radien a und b, die durch den Pol gehen, der erste habe seinen
Mittelpunkt auf der Polaraxe, der zweite möge ihn berühren. Dann schneidet
jede Gerade durch den Pol sie in zwei Punkten A und B, und nimmt man
OM=1= OA + OB + 1, so wird der Ort der Punkte 1Ml die behandelte Kurve sein.
1) Educational Times, Januar 1896, Frage 12978.