Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Die Konchoide des Nikomuedes. 133
1 C[(0 2 +a2 | *,
genommen zwischen den Grenzen -—, - 7 Da nun der Vert
dieses Integrales - al. log tg(- + - ) + i2W, so nimmt es für jene
Grenzen den Wert an al (logo - log o) -- l2, und ist deswegen oo.
Das zwischen dem vom Pole auf die Basis gefällten Lote, einem
Radius vector und den beiden entsprechenden Konchoidenbögen gelegene Flächenstück ist
0) ()
l ra rC_ 2 _ a ( )2jao d1co
2 r S os o) os 0 COS (O
o 0
2 + log tg + -) 2 a log tg - -+ cs
4 2L sinö o
ein von Cotes erhaltenes Resultat ). Dieser hat aufserdem das Volumen berechnet, das diese Fläche durch Rotation um das genannte
Lot erzeugt.
Die Fragen betreffend die Quadratur der Konchoide können auch
vermittelst kartesischer Koordinaten behandelt werden. Gleichung (2)
liefert nämlich
Jy.c =-S- 1f(1 — a + x) ( + a ) dx;
nehmen wir nun eine neue Variable t, die durch die Gleichung
t2 _- — x definiert ist, so wird das Integral rational, und man
l - -a +- x
gelangt mit Joh. Bernoulli zu dem Schlusse: ~erit itaque spatium
conchoidale aequale spatio hyperbolico rectilineo et circulari"2).
Besonders wichtiger geometrischer Eigenschaften erfreut sich die
Konchoide nicht, aber die Leichtigkeit, mit der man sie vermittelst
eines einfachen Instrumentes zeichnen kann, bewirkt, dafs man sie in
der Praxis nützlich verwenden kann; als Beispiel führen wir ihre Anwendung in der Architektur an bei der Zeichnung der Säulenschäfte3).
Aufserdem kann sie zur Lösung der Probleme der Würfelverdoppelung
und der Dreiteilung des Winkels dienen, und da man auf das eine oder
andere dieser Probleme jede Aufgabe dritten oder vierten Grades zurückführen kann, so schlug Newton vor, sie zugleich mit der Geraden
und dem Kreise (s. Nr. 3 und 5) unter die Linien zu rechnen, deren
Anwendung dem Geometer bei jeder Gelegenheit gestattet sein solle4).
1) fcar'moiac mensurarum (Cambridge 1722) S. 125.
2) S. die dritte der Lectiones mathematicae (Job. Bernoulli Opera III,
S. 400-401).
3) Poppe, Ausführliche Geschichte dcer Avnenduncgen aller krummen Linien
u. s. w. (Nirnberg 1802) S. 209.
4) Arithmetique universelle, übers. v. Beaudeux II (Paris 1802) S. 52.