Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

132 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordlnung.
und also wird in diesem Falle - wie Huygens selbst bemerkte
die Aufgabe eine quadratische. Um den allgemeinen Fall graphisch
zu lösen, wenden wir die von Descartes zur Lösung jeder Gleichung
von der Formn: x3 ax -
angegebene Methode an1). Wir setzen daher
a ==- mp ß -- m2q=, x2 = my;
die vorige Gleichung wird dann
x2 +- 2 qx + (p) + )y.
Somit sind die Abscissen der Wendepunkte, die Abscissen der
Punkte, in welchen der von dieser Gleichung dargestellte Kreis von
der Parabel y2 =mx geschnitten wird. Um dies Verfahren auf Gleichung (6) anzuwenden, setzen wir
3 a2 =mp, 2a(12 - a2) m2q oder p =- 3, q -a(- - a2)
Setzen wir aufserdem der Einfachheit halber n = - a, so werden
wir folgende Gleichungen für die beiden Hilfskurven erhalten:
x' + ay= 0, (x C- ) + y + 2c)2 (o - -)2 + 4a,
oder, wenn wir y +- 2 a = y' setzen und dann die Strichel weglassen:
2"+uzJ=2 — / q-Y -- ---
2 + ay == 2a2, [- (a )2 + y (a - )2 + 42.
Die so dargestellten Kurven können geometrisch ohne Schwierigkeit definiert werden. Es sei nämlich R der Fufspunkt des vom Pole 0
auf die Basis r gefällten Lotes; man trage auf der durch 0 zu r gezogenen Parallelen V=-2a ab. Nun ist die erste jener Kurven eine
Parabel, die V zum Scheitel, a zum Parameter und jene Parallele zur
Axe hat, und die konkav gegen den Pol hin ist. Die zweite ist dagegen ein Kreis, der zum Mittelpunkte jenen Punkt C des vom Pole
auf die Basis gefällten Lotes hat, der von jenem die Entfernung a - -
hat, und durch den Punkt V geht. Da nun diese Definition der Hilfskurven im wesentlichen mit der von Huygens gegebenen identisch ist,
so hat man guten Grund anzunehmen, dafs dieser zur Konstruktion
seiner Wendepunkte gelangte, indem er die Methode des Cartesius,
deren wir uns bedient haben, anwandte.
68. Demselben Huygens verdankt man auch die Bemerkung, dafs
die von der ersten Konchoide und ihrer Basis begrenzte Fläche unendlich grofs ist2); ausgedrückt wird diese nämlich durch das Integral
1) S. z. B. Matthiesen, Grundziige der antiken und modernen Algebra
der litteralen Gleichungen (Leipzig 1878) S. 948.
2) S. die beiden an Schooten gerichteten Briefe v. 6. Sept. 1658 und 1. Jan.
1659, veröffentlicht im II. B. S. 212 u. 298-99 der Oeuwves de Htuygens.