Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

126 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
ein doppeltes orthogonales System bilden, so können wir folgern,
dafs die Gleichungen (22), (23) ein doppeltes orthogonales
System von spirischen Linien bilden.
Zu ähnlichen Resultaten führt die Betrachtung von cnz und nsz.
65. Die spirischen Linien mit einem Doppelpunkte, die wir von
unserer vorhergehenden Betrachtung mit Absicht fast gänzlich ausgeschlossen haben, wurden neuerdings von einem besonderen Gesichtspunkte aus beobachtet, welchen wir nicht gut übergehen können.
Gegeben zwei Punkte F1 und F2 im Abstande 2c mit dem Mittelpunkt 0, aufserdem eine Konstante f; der Ort der Punkte 111 so beschaffen, dafs
MF2 * MF2 = c4 +_ f. O2
ist eine Kurve, die Booth untersucht hat1), und der er den Namen
Lemniskate gegeben hat; um sie von anderen Kurven, die denselben
Namen erhalten haben, zu unterscheiden, nennen wir sie die Lemniskate von Booth. Aus der angegebenen Definition ergiebt sich sogleich, dafs die Kurve folgende Gleichung in kartesischen Koordinaten hat ( 2) () f2 ( + 2c2)x2 + (~ f2 2c2)y2.. (24)
Sie ist daher eine spirische Linie, die in 0 einen doppelten Inflexionspunkt hat und verschiedene Gestalten darbietet je nach dem Vorzeichen von f2 und nach der relativen Gröfse der Konstanten f und c,
wie wir jetzt ausführen wollen.
I. Wir geben f das Vorzeichen +; dann wird, wenn f> c/2, und
f2 + 2 c2 = a, f_ - 2c2 = b2 gesetzt wird, die Gleichung (24) zu
(x2 + y2)2 == a2x2 + b2y, WO 2 > 2. (24i)
und stellt dann eine elliptische Lemniskate von Booth dar. Wenn
aber f cX/2, so stellt (24) die beiden Kreise x2 + y2 + 2 c = 0 dar.
Wenn endlich f < c2, so geht, wenn man f2 + 2 c2- a, 2 c2 - f2- b2
setzt, (24) über in
(2 + y2)2 =a2x2 by2, wo a2 <b.. (24n)
und diese gehört einer hyperbolischen Lemniskate von Booth an2).
II. Im Falle f= 0, wird (24) zu (x2 + y2)2 = 2c2(x2 - y2) und wir
werden (in Nr. 93) sehen, dafs sie eine Bernoullische Lemniskate darstellt. III. Geben wir schliefslich dem f das - Vorzeichen, so müssen
wir, um eine reelle Kurve zu erhalten, annehmen, dafs 2c2 > f2, setzen
wir zufolge dessen 2c2 - f = a2 und 2c2 - + f = b, so wird (24) zu
(x2 + y2)2 = a2x2 - b2y2 wo a2 > b2,... (24m)
1) A treatise on some new geometrical methods I (London 1877) S. 162 if.
2) Neuberg zog den Namen Lemniskatoide vor (Sur quelques systemes
de tiges articulees, Littich 1886, S. 36).