Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Elliptische u. bicirkulare Kurven 4. O. im allgem. 113
giebt es einen Punkt (den Fundamentalpunkt), der gleichen Abstand
hat von den beiden Mittelpunkten zweier Schnittpunktepaare der
Kurve mit einer beliebigen Geraden, auch wenn diese jenen Punkt
nicht enthält ).
Mit Hilfe der allgemeinen Gleichung (6) kann man auch zeigen,
dafs jede bicirkulare Kurve vierter Ordnunug die IHiillkurve eines
beweglichen Kreises ist, der einen festen rechtwinklig schneidet,
und dessen Mittelpunkt sich auf einem gegebenen Kegelschnitte (dem
Deferent-Kegelschnitte) bewegt. Seien nämlich
Ci- (x - a)2 + (y - i)2 - 0 (= 1,2, 3).. (8)
die Gleichungen dreier zum gegebenen rechtwinkligen Kreise, so repräsentiert die Gleichung
OC + t1 C + C2 = —o,.... (9)
welches auch die Konstanten o, 4,:2 sein mögen, einen anderen
Kreis, der dieselbe Eigenschaft hat. Die A sind proportional den
barycentrischen Koordinaten des Mittelpunktes 0 dieses Kreises in
Bezug auf das Dreieck, das die Mittelpunkte der drei ersteren zu
Ecken hat. Da nun der Annahme gemäfs 0 einem Kegelschnitte
angehört, so sind die A durch eine Beziehung folgender Art mit
einander verknüpft,
~aJl =-_- 0 (i, k,1, 2; aik=... (10)
ik
Um die Enveloppe des Kreises (9) unter der Bedingung (10) zu finden,
setzen wir - = p, -- = q, und haben dann an Stelle von (9) und
"0 1O
(10) die Gleichungen
Co + pC, q + qC2 =;.(9')
alp2 + aaq2p + 2aa0 - + 2ao2q + a = 0. (10')
Diese müssen wir einer allgemeinen Vorschrift folgend mit den Ableitungen nach p und q von folgender Gleichung kombinieren
a11p2 + 2 a12pq + a q-2+ 2 a o1p + 2 aco q + a+o 2 Q (C o +p C + q G2) -0,
wo 9 eine Hilfsgröfse ist. Diese abgeleiteten Gleichungen sind nun
ao1 +- alp +- ac q + 9 1 = 0,
a02 + a 2p+ a22 + q 9 C2 O.
Multiplizieren wir sie bezügl. mit p und q, ziehen sie dann von der
vorigen ab und berücksichtigen auch Gleichung (9'), so erhalten wir:
0 - +aop + a20 q +q 9 C = 0.
Diese mit den beiden vorhergehenden und (9') bilden ein lineares
1) Elg, Sur les quartiques bicirculaires (Journ. d. math. spec. 4. Ser. V,
1896).
Loria, Ebene Kurven, 8