Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Allgemeines. Klassifikation. 99
wo u3 und u4 binäre Formen vom Grade 3 bezw. 4 sind, hat die
Eigentümlichkeit, dafs ihre Hessesche einen singulären Punkt hat; wir
nennen sie die Geiser'sche Kurve, zu Ehren des Geometers, der
sie zuerst erdacht und sich derselben bedient hat, um das Fehlen von
Doppelpunkten und Spitzen in der Hesseschen einer allgemeinen Kurve
beliebiger Ordnung nachzuweisenl).
Die Jacobische Kurve einer Geraden und eines syzygetischen Büschels
von Kurven dritter Ordnung ist eine Kurve vierter Ordnung, die nur
von zwölf Konstanten abhängt. Geometrisch ist sie durch die Lage
ihrer 24 Wendepunkte charakterisiert, die sich in zwei Gruppen scheiden, gebildet aus den Ecken der Dreiseite eines syzygetischen Büschels.
Analytisch hingegen ist sie dadurch gekennzeichnet, dafs die kubische
Invariante der linken Seite gleich Null ist, sowie auch die Invariante
6. Grades zugleich mit allen Unterdeterminanten 5. Grades. Man pflegt
sie nach dem Namen ihres Entdeckers die Caporali'sche Kurve
vierter Ordnung zu nennen2).
Von anderer Art ist die Halphen'sche Kurve, so genannt,
weil G. H. Halphen auf sie die geometrische Definition der elliptischen
Funktionen gründete, die er in seinem Traite des /fnctions elliptiqtes
et de leurs applications (Paris 1886) bearbeitet hat. Man denke sich
einen Kreis mit dem Centrum 0 und dem Radius R und einen Punkt
C in seiner Ebene; MM' sei eine Sehne desselben, die durch C hindurchgeht; man trage auf ihr die beiden Segmente CN- CiY' ab,
so, dafs CNJ/MM' = - /2(R + ö), wo 6 der Abstand CO, und 1
eine beliebig gegebene Strecke ist. Der Ort der Punkte N, N' ist eine
Halphen'sche Kurve. Nimmt man C zum Anfang und CO als x-Axe,
so findet man leicht ihre Gleichung als
(+ ) + y2)2 ( ) + 2 (
woraus folgt, dafs sie eine bicirkulare Kurve ist.
Andere spezielle Linien entstehen bei der Aufsuchung aller Kurven
vierter Ordnung, die durch eine oder mehrere harmonische Homologieen in sich selbst transformiert werden3). Eine solche Untersuchung führt zu folgenden Resultaten:
1. Eine einzige Homologie; kanonische Gleichung der Kurve
o0X31 + 2<X3 + U4 0,
1) Sopra la teoria delle c'rve piane di quarto grcado (Ann. di Mateni. 2. Ser.
IX, 1878).
2) E. Caporali, Sopra mia certa czrva del 4~ ordine (Rendie. dell Accad.
di Napoli, Dezember 1882). Vgl. E. Ciani, La quartica di Caporali (Das. April
1896).
3) E. Ciani, I vani tipi possibili di quartiche piane piit volte ozmologicoarmoniche (Rend. del Circolo lmatematico di Palermo XIII, 1899).
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