Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

98 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
ergänzt. Sie führt zur Unterscheidung von sechsunddreifsig Typen
der ebenen Kurven vierter Ordnung ohne vielfache Punkte, die in dreizehn Klassen zerfallen; sie beruht auf der Erkenntnis, dafs eine Kurve
vierter Ordnung mit nicht verschwindender Diskriminante höchstens
aus vier geschlossenen ganz auseinander liegenden Zügen besteht oder
auch aus zweien, von denen der eine innerhalb des anderen liegt.
Für die rationalen Kurven hingegen beträgt die Zahl der wesentlich
verschiedenen Typen neun'), unter denen sich Übergangsfornen zu
den ersteren finden. Schliefslich wollen wir bemerken, dafs die Kurven
vierter Ordnung vom Geschlechte 2 oder 1, einem bekannten allgemeinen Satze von Harnack2) zufolge höchstens aus drei oder zwei
Zügen bestehen. - Dieser Hinweis auf eine Betrachtung, auf die wir
nicht weiter zurückkommen werden, möge genügen; der Leser, der
genauere Angaben wünscht, nehme die Dissertation von Frl. Ruth
Gentry zur Hand: On the forms of plane quartic curves (New-York
1896).
53. Alle speziellen Kurven vierter Ordnung, mit denen wir uns
beschäftigen werden, sind entweder elliptische (indem sie als Doppelpunkte oder Spitzen die cyklischen Punkte der Ebene haben) oder
rationale; demnach werden wir - in ähnlicher Weise, wie wir es im
vorigen Abschnitt gethan haben - ein besonderes Kapitel den ersteren,
ein zweites den anderen widmen. Zunächst aber wollen wir zum
Schlusse dieses Kapitels, - wie es früher auch in Nr. 17 geschehen
ist - über einige Kurven vierter Ordnung ohne vielfache Punkte,
die dennoch spezieller Art sind, berichten.
Die erste Stelle wollen wir der Clebsch'schen Kurve einräumen,
welche die besondere Eigenschaft hat, dafs die linke Seite ihrer homogenen Gleichung als Summe der Biquadrate von fünf linearen
Formen3) darstellbar ist; sie läfst daher polare Fünfseite zu; analytisch ist sie dadurch charakterisiert, dafs ihre Invariante A (s. Gl. (4))
gleich Null ist. Die Kovariante S (Gl. (3)) einer Clebsch'schen Kurve
gleich Null gesetzt, stellt eine spezielle Kurve vierter Ordnung dar,
indem sich in dieselbe vollständige Fünfseite einbeschreiben lassen;
sie heifst die Lüroth'sche Kurve vierter Ordnung zum Andenken
des Geometers, der sie zuerst untersucht hat4).
Die durch eine Gleichung von folgender Gestalt dargestellte Kurve
X,4 + 4u3X, - + = 0,
1) A. Brill, Über rationale iKurven vierter Ordnung (Math. Ann. XII, 1877).
2) Über die Vielteiligkeit der ebenen algebraischen Kurven (Das. X, 1876).
3) S. die Fundamentalabhandlung von Clebsch, Über Kurven vierter Ordnung (Crelles Journ. LIX, 1861).
4) Man sehe die beiden Abhandlungen: Einige Eigenschaften einer, gewissen
Gattung von Kurven vierter Ordnung (Math. Ann. I, 1869) und Neuer Bezeis des
Satzes, dafs nicht jeder Kurve vierter Ordnung ein Fiinfseit eingeschrieben werden
kann (Das. XIII, 1878).