Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Allgemeines. Klassifikation. 97
wurde von J. Plücker ) geliefert, der überdies durch eine erschöpfende Aufzählung die Zahl der verschiedenen Arten der ebenen
Kurve vierter Ordnung auf 152 brachte und für jede Art die kanonische Gleichung fand.
Das genannte Klassifikations-Verfahren ist aber, da es als Grundlage ein Prinzip hat, dafs sich mit den herrschenden Ideen der Geometrie seit dem Triumphe ihrer projektiven Methoden schlecht verträgt, heute schon wenig mehr in Gebrauch und ist in Vergessenheit
geraten. Vielmehr giebt man einem der beiden folgenden den Vorzug.
Das erste hat die Betrachtung des Geschlechtes einer Kurve als
Grundlage und demnach der Zahl und Natur ihrer singularen Punkte.
Dementsprechend werden alle Kurven vierter Ordnung in vier grofse
Kategorien eingeteilt, jenachdem sie vom Geschlechte 3, 2, 1, 0 sind.
Die erste enthält die Kurven ohne vielfache Punkte, die zweite die
mit einem Doppelpunkte oder einer Spitze versehenen (solche Kurven
sind dann hyperelliptische Kurven vierter Ordnung)2), die dritte
die Kurven mit zwei Punkten von der Vielfachheit zwei (es sind die
elliptischen Kurven vierter Ordnung), die letzte die mit drei Doppelpunkten (Knoten, Spitzen, oder isolierten Punkten) oder einem dreifachen Punkte (es sind die rationalen Kurven vierter Ordnung).
Diese Einteilung kann weiter fortgesetzt werden durch die Betrachtung der Moduln der einzelnen Kurven.
Die zweite der oben angekündigten Methoden gründet sich auf
topologische Betrachtungen. Vorbereitet von Cayley3) wurde sie
von Zeuthen4) entwickelt und in einzelnen Punkten von Crone5)
1) Theorie der algebraischen Kurven (Bonn 1839) S. 136-49. In der früheren
Enumeration des courbes du quatrielme ordre, d'apres la nature diff/erente de leurs
branches infinies (Liovvilles Journ. I, 1836) hatte derselbe Geometer nur 135 Gattungen betrachtet.
2) Zu dieser grofsen Klasse gehört die in kartesischen Koordinaten durch
die Gleichung y4 - x4- +ay2 +_ bx2 = 0 dargestellte Kurve, die von den französischen Geometern courbe du diable genannt wurde (vgl. Internmediaire IV,
1897. S. 222); der Anfangspunkt ist ein Knoten- oder ein isolierter Punkt, jenachdem b < 0; die unendlich fernen Punkte der Winkelhalbierenden der Axenwinkel sind einfache Punkte derselben. Besonders ist noch betrachtet worden
(s. Briot u. Bouquet, Lefons de geometrie analytique S. 367; und Nievenglowsky, Cours de geom. analytique II. Paris 1895. S. 73) folgender Fall
y4 - 4 -96 a9y2 + 100 a2x2 = 0.
Die "Teufelskurve" scheint jedoch nur wegen ihrer seltsamen Form bemerkenswert zu sein.
3) S. die Bemerkungen On quartic curves (Philosophical Magazine, 4e Reihe,
XXIX, 1865).
4) Sur les differentes formes des courbes planes du quatriieme degre (Math.
Ann. VII, 1873).
5) Sur la distribution des tangentes doubles sur les divers systernes de coniques
ayant un contact quadruple avec une courbe du quatrieime degre. (Das. XII, 1877).
L o r i a, Ebene Kurven., 7