Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

76 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
dies durch das lateinische Wort vertere ausdrückte, welches wenden
oder umwenden bedeutet.
In dem Agnesi'schen Werke wird nicht eine vollständige Untersuchung der Kurve angestellt, jedoch wird bemerkt (S. 391-93),
dafs sie leichter auf folgende Weise konstruiert werden könne: "Man
ziehe durch den Endpunkt A des gegebenen Durchmessers einen beliebigen Strahl, der die Peripherie des Kreises zum zweitenmal in D
trifft und in E die Tangente desselben in C; die durch D und E
bezüglich zur Tangente und zum Durchmesser A C gezogenen Parallelen
treffen sich in einem Punkte M der Versiera." In der That folgt
aus dieser Konstruktion, dafs AB: BD AC: CE, was mit (1) übereinstimmt, indem ja CE = BM. Bezeichnen wir mit a den Durchmesser des gegebenen Kreises, nehmen A C als y-Axe und A als Anfang, so läfst sich die zuletzt geschriebene Proportion in folgender
Form ausdrücken:
y a
oder, was dasselbe
xy-=a2(a-y) (2) oder auch y=== a ) (2')
Die Versiera ist also eine rationale Kurve dritter Ordnung, welche
die x-Axe als Wendeasymptote hat, in C den gegebenen Kreis berührt und den unendlich fernen Punkt des Durchmessers A C zum
isolierten Punkt hat. Es ist klar, dafs sie folgender parametrischer
Darstellung fähig ist
x=, y= + 2...... (3)
dem entsprechend hat man als Kollinearitäts-Bedingung für drei Punkte
(a), (), (Y) ßy + yc + aß = a2,
woraus sich ergiebt, dafs die Kurve in endlicher Entfernung zwei
Wendepunkte besitzt mit den Koordinaten:
a 3ac
x=-=~, y= 4
Aus Gleichung (2) ergiebt sich:
fy. dx == a - = a3 arc tg- +const.,
J y~d~= J cx a22+x2 a
o la versiera")]. Indem Booth offenbar das Wort "versiera" in dieseml Sinne
nahm, gebrauchte er den Ausdruck,the witch or the curve of Agnesi" (A treatise on some newz geometrical methods I, London 1873, S. 302-3).
1) Setzt man x =y', a - y = x', so wird (2) y' = / --- die von
Mister angewandte Gleichung (Propritet de la courbe d'Agnesi (Mathesis VII,
1887); setzt man a ==2a', so erhält man die von Booth (1. c.) bevorzugte
Gleichungsform.