Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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Der von Lie selbst für seinen Satz angegebene
Beweis gründet sich auf dessen Untersuchungen über die
M o n ge shen Differentialgleichungen der tetraedralen
Komplexe. Es handelt sich aber bei diesem Satze um
eine Eigenschaft, die den Flächen zweiter Ordnung als
solchen eigentümlich ist. Es muß sich mithin für denselben auf direktem elementaren Weg ein Beweis durchführen lassen.
Derartige Beweise sind in drei russischen Arbeiten1)
gegeben, von denen mir eine zugänglich wurde. Sie ist
am Schlusse des ersten Teiles kurz angegeben.
In den vorliegenden Untersuchungen ist nun ein
direkter Beweis des Satzes von Lie versucht worden, der
ausgeht von einer Parameterdarstellung der
Erzeugenden einer auf ein eingeschriebenes
Tetraeder bezogenen Fläche zweiter Ordnung, und
der mit Hilfe der tetraedralen Komplexe dann leicht
zum Ziel gelangt.
Der zweite der beiden angegebenen Sätze ist von
F. Schur2) aufgestellt und bewiesen worden.
Der Beweis ist aber rein synthetischer Natur und
setzt überdies die Untersuchungen Schurs über die
Komplexe voraus, die besonders nach der projektivischen
Seite hin ausgebildet sind.
Es wird demnach auch für diesen zweiten Satz ein
direkter, elementarer Beweis erwünscht sein. Ein solcher
soll deshalb den wesentlichen Bestandteil des zweiten
Teiles der vorliegenden Arbeit bilden.
Bevor wir aber unser eigentliches Thema in Angriff
nehmen, soll der Vollständigkeit halber eine kurze Übersicht über die Beziehungen der linaren
Komplexe zu den Flächen zweiter Ordnung
1) Vergl. Grawe, Kasan Ges. (2) 7, 79-81.
D. Sinzow, K. Ges. (2) 6, 42-46, 7, 82-91.
P. Nasimow, K. Ges. (2) 7, 92-94.
2) Vergl. Mathem. Annal., Bd. 21, S. 525.