Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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Die genannten Beziehungen haben deshalb bisher
noch keine einheitliche Darstellung erfahren; sie entbehren
zum Teil auch noch der direkten elementaren Beweise.
In der vorliegenden Arbeit soll eine Darstellung dieser
Beziehungen nach einer einheitlichen Methode gegeben
werden.
Für die Beziehungen der quadratischen Komplexe
zu den Flächen zweiter Ordnung kommen insbesondere
die folgenden beiden Sätze in Betracht:
I. ~Die Erzeugenden der einen Schar einer
Fläche zweiter Ordnung, sowie die der anderen
Schar schneiden ein beliebiges Tetraeder,
sobald dessen Ecken auf der Fläche liegen, in
je einem konstanten Doppelverhältnis."
II.,BeideErzeugungen einerFlächezweiter
Ordnung können zugleich nur in solchen
quadratischen Komplexen enthalten sein, deren
Geraden die gegebene Fläche und irgend eine
andere Fläche zweiter Ordnung in harmonisch
getrennten Punktepaaren schneiden".
Der erste dieser beiden Sätze ist von S. Lie aufgestellt worden'). Da nun alle Geraden, die die Seiten
eines Tetraeders in demselben Doppelverhältnis schneiden,
einen quadratischen Komplex, nämlich einen tetraedralen
Komplex bilden, so läßt sich dieser Satz auch in folgender
Form aussprechen:
Zu jedem einer Fläche zweiter Ordnung
eingeschriebenen Tetraeder gehören zwei
tetraedrale Komplexe, von denen der eine die
erste Erzeugung, der andere die zweite
Erzeugung der Fläche enthält.
In dem Lieschen Satze ist demnach eine Beziehung
zwischen den Flächen zweiter Ordnung und den quadratischen
Komplexen ausgedrückt.
1) Verg]. S. Lie,Berührungstransformationen, Kap. 18, Satz 12.