Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

73
Der allgemeinste harmonische Komplex, den
die Fläche (2) mit irgendeiner anderen Fläche
B erzeugt, ist also dargestellt lurch die
Gleichung (4), wo die Mii den Bedingungen (6)
genügen müssen.
Nun hatte aber der allgemeinste quadratische
Komplex, der zugleich beide Erzeugungen der
Fläche (2) enthält, nach ~ 3, (10) die Gleichung:
A11 p12 + A22 P2+ A33 p32 + A44 p42 + A55 P5 + A66 p62
(7) + 2 (a2 P3 p5 - a33 P2 P6) + 2 (a33 P1 P6 + a11 P3 P4)
+ 3 (a P2 P4- a-2 P1 P5) + i4 (al 1., - P a44 P, P6)
+ a (a22 P Pl - a44 P4 P6) + 2a (833 Pl P2 - a4 p4 P4) 0,
wo nach ~ 3, (11) die Aii den Bedingungen zu genügen
hatten:
a8 a1 All - a2 a33 A = a a44 A 22 + a a a11 A
(8)
= a a3 a4 A33 a+ al2 A66
Die Gleichungen (4) und (7) sind., ebenso wie die
Bedingungen (6) und (8) miteinander identisch, d. 1i.
aber der allgemeinste quadratische Komplex, der
zugleich beide Erzeugungen einer Fläche zweiter
Ordnung enthält, ist ein harmonischer Komplex,
also ein solcher, dessen Geraden die gegebene Fläche
zweiter Ordnung und irgend eine andere Fläche zweiter
Ordnung in harmonisch getrennten Punktepaaren schneiden.
Haben wir in (8) bei festem hi und im Einklang mit
(8) gewählten Aii einen Komplex gegeben, der beide
Erzeugungen der Fläche (2) enthält, so können wir die
Koeffizienten derjenigen zweiten Fläche zweiter Ordnung,
die die mit (2) diesen Komplex als einen harmonischen
erzeugen muß, leicht finden: Die b1i bestimmen sich
mit Hilfe von (5) und es ist außerdem: