Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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~ 5.
Analytischer Beweis des Satzes von F. Schur.
Man kann die Determinante AJv () ~ 4 (6) oder
(8) in folgender Weise darstellen ):
i2 { (a"1 + b bl) (a22 + 2 b22) - (a1 + 1 b12)2 } q
+2 2- (a3 +, b) (a~2 + Ab) - (a,,- +2 b) (a2
+ b b23) } q5 q
+- 2 { (a2 + 2 b, 2) (a34 - i b34) (ql q4 - q(2 ) 0= 0.
Das Bildungsgesetz dieser Summen ist unschwer zu
erkennen.
Sind nun die Flächen A und B, ~ 4 (1) und (5)
allgemein gegeben, so wird die Gleichung (1) außerordentlich umständlich ausfallen und deshalb auch der
Faktor Z von 2l, also die Gleichung unseres harmonischen
Komplexes eine sehr komplizierte Form haben.
Ohne die Allgemeinheit unserer Entwicklungen einzuschränken, können wir aber eine der Flächen,
z. B. A auf ein Polartetraeder beziehen, so daß A
dann die Gleichung hat2):
(2) A =a a~l x12 + a 22 X2 + a 33 32 + a4 xa - 0.
Dadurch wird die Gleichung (1) bedeutend einfacher
und der Faktor ZX on 2, lautet zunächst, wenn wir
zugleich Strahlenkoordinaten einführen:
(a22 b3 + a33 b29) p 2 + (a33 bl- + al b33) p22
(3). (a1l b22 - a.2 b11) p32 + (a, 1 b44 + a44 b,) p,2
+(a2 b44 + a44 b22) Ps +- (33 1b44 - a44 b33) pO2
1) Salmon-Fiedler, Raum I, S. 102.
2)B e i d e Fiichen A und B können wir im allgemeinen
Falle n i c i t auf ein gemeinsames Polartetraeder beziehen,
da sie ein solches nicht immer besitzen. Vergl. Cl eb s ch- Lind emann, RPaum I, S. 215.