Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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Kehren wir zu unserem ursprünglichen Koordinatensystem zurück, so muß = 0 die Bedingung für alle
Geraden (2) sein, die die Flächen A und B in
harmonisch getrennten Punktepaaren schneiden.
Aus der Form der Determinante (6) geht aber hervor,
daß die ui und Vk in = 0 aber nur in den bekannten
Verbindungen der Achsenkoordinaten qi auftreten.
Somit stellt die Gleichung:
(12) - 0
den Komplex aller Geraden in Achsenkoordinaten
dar, die die Flächen A und B in harmonisch getrennten Punktepaaren schneiden. X=0 ist den
qi quadratisch. Damit ist die Gleichung des durch die
Flächen A und B erzeugten harmonischen Komplexes in
Achsenkoordinaten und dadurch wegen:
q,: q2 q3 q: q5:q6 == P4 P: p p6: '1: P,2: 3
auch in Strahlenkoordinaten gegeben.
Auf dem dualen Wege hätten wir auch den
Komplex derjenigen Geraden erhalten können, durch die
man vier harmonische Tangentialebenen an zwei Flächen
A und B legen kann. Wir hätten diese beiden Flächen
dann in Ebenenkoordinaten ausdrücken müssen und statt
der beiden Ebenen (2) zwei Punkte geben müssen.
Übrigens ist ein Komplex, dessen Geraden zwei
Flächen zweiter Ordnung A und B in harmonisch
getrennten Punktepaaren schneiden, stets auch ein
solcher, durch dessen Geraden vier harmonische Tangentialebenen an zwei Flächen zweiter Ordnung gelegt
werden können, die aber nicht beide mit den Flächen A
und B identisch sind. Wir können darauf aber nicht
näher eingehen 1).
') Vergl. hieriber F, Scehur, Math. Annal. B. 21., S. 515,